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Ma allora: 



Se una varietà algebrica contiene dei sistemi regolari di integrali 

 riducibili ~Bi , B 2 , .. ,B„, e poi un sistema regolare A indipendente da 

 ciascuno di quelli , ma non dal sistema che lì congiunge (il sistema A 

 non è certo isolato su di essa e quindi) la varietà contiene infiniti sistemi 

 regolari della stessa dimensione di A . 



Questa proposizione coincide, in sostanza, con quella che ottenne qualche 

 tempo fa il Severi, come generalizzazione del classico teorema di Poincaré 

 sulle varietà algebriche con integrali ellittici linearmente dipendenti ( 6 ), 

 poiché la maggiore generalità del suo enunciato è soltanto apparente. 



Osservazione IL Se il sistema A della solita varietà Y p contiene un 

 sistema regolare C , ogni complementare di C entro A è congiunto ad A' 

 da un complementare di C su Y p ; e viceversa si vede subito, per il teorema 

 dimostrato più sopra, che ogni complementare di C su Y p contiene A' e 

 sega A in un sistema regolare che è complementare a C entro A; dunque: 

 Gli eventuali sistemi regolari isolati su Y p , e contenuti in A , sono 

 tutti e soli i sistemi regoli contenuti in A e ivi isolati. 



Più generalmente si riconosce che: 



Gli eventuali sistemi regolari isolati su V p , e congiungenti un si- 

 stema contenuto in A con un sistema contenuto in A', sono tutti e soli 

 quelli che congiungono un sistema isolato in A con un sistema isolato 

 in A' ( 7 ). 



3. Dimostriamo, ora, che: 



Se una varietà algebrica Y p , di irregolarità superficiale p e indice 

 di singolarità k, contiene dei sistemi regolari isolati di integrali ridu- 

 cibili, è sempre possibile determinare su Y p n sistemi regolari isolati 

 indipendenti A, , A 2 , ... , A„, tali che nessuno di essi contenga sistemi 

 regolari isolati di dimensione inferiore alla propria, e tali che, detti 

 qj — 1 e kj la dimensione e l'indice di singolarità di A,-, si abbia 



Qi +0H h?» = i>. 



E infatti, consideriamo tra i sistemi regolari isolati di Y p quelli di 

 dimensione minima; sia A, uno di questi, con la dimensione </i — le l'in- 



( 6 ) Severi, Sugli integrali abeliani riducibili, Note I e II [Rendic. della R. Accad. 

 dei Lincei, ser. 5 a , voi. XXIII (1° seni. 1914), pp. 581-587 e pp. 641-651]; Notali, n. 4. 



( 7 ) Queste osservazioni potrebbero essere facilmente estese dimostrando, ad es., che 

 il coefficiente cP immersione su Y p di un sistema regolare C congiungente un sistema 

 regolare Ci di A , con un sistema regolare C a di A' è la somma dei coefficienti di im- 

 mersione di Ci su A e di C a su A'. 



