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dice di singolarità k x , e sia Ai il suo complementare con la dimensione 

 q[ — 1 e l' indice di singolarità k[ . Sarà, evidentemente, 



q ì -\-q[=p e k Y -f- k[ + 1 = k . 



Se AJ non contiene sistemi regolari isolati (su Y pi o, ciò che fa lo 

 stesso, entro Ai) di dimensione inferiore alla propria, il teorema è già di- 

 mostrato ; se no, tra i sistemi regolari isolati contenuti in Ai si considere- 

 ranno quelli di dimensione minima, e si dirà A 2 uno di questi, e A' 2 il suo 

 complementare in AI. 



Indicate con q t — 1 e q' 2 — 1 le dimensioni di A 2 e A 2 , e detti k 2 

 e k' 2 i loro indici di singolarità, sarà: 



( 1ì + <h = ( h 6 + k\ + 1 = k[ , 



cioè 



( h + Qt + Qt = P e *i + ki -{- k\ + 2 = k ': 



Ora, o A' 2 non contiene sistemi regolari isolati (su Y p , o, ciò che fa 



10 stesso, entro A' 2 ) di dimensione inferiore alla propria e allora il teorema 

 è dimostrato; o ciò non è, e allora si applicherà ad Aó il procedimento 

 adoperato già per Y p e Ai . 



Siccome p > q[ > q r z . . . , questo procedimento non può essere illimita- 

 tamente proseguito : quindi esso deve arrestarsi, il che vai quanto dire che 

 si perviene a dimostrare il nostro teorema in ogni caso. 



4. La proposizione ora stabilita può essere ulteriormente precisata. 



Facciamo vedere infatti che: 



Se per la varietà V p e i sistemi Ai , A 2 -., ... , A n valgono le ipo- 

 tesi e le proprietà del teorema del n. 3, i sistemi regolari isolali di Y p 

 diversi da Ai , A 2 , ... , A n sono tutti e soli i sistemi congiungenti Ai , A 2 , 

 ... , A n a due a due, a tre a tre , . . . , a n — 1 a n — 1 . 



E infatti, grazie all'indipendenza dei sistemi Aj e alla relazione 



Si + q* H h Qn = p , 



11 sistema Ai congiungente A 2 , A 3 , ... , A„ è complementare ad A, su Y p ; 

 quindi Ai è, al pari di Ai, isolato su Y p . 



Allo stesso modo, entro Ai , il sistema A 2 congiungente A 3 , ... , A„ è 

 complementare ad A 2 ; ma allora A 2 è isolato entro Ai al pari di A 2 , cioè 

 A[ è isolato su Y p . 



Così continuando e poi scambiando l'ufficio dei sistemi A/, si dimostra 

 che ogni sistema congiungente n — 1 , n — 2 , ... , tre o due sistemi Aj, è 

 isolato su Y p . 



Viceversa, sia B un qualsiasi sistema regolare isolato appartente a V p , 

 e diverso da A, , A 2 , ... , A„ . 



