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Siccome A, è isolato su V p e non contiene sistemi regolari isolati di 

 dimensione inferiore alla propria, il sistema B, essendo anch'esso isolato, 

 o contiene A x o è indipendente da A, e giace in A! (n. 2). Nella prima 

 alternativa, B (che è diverso da A,) congiunge A, con un sistema regolare B! 

 situato in A| e isolato tanto su Y p quanto su AJ; quindi, tanto nella prima 

 alternativa, quanto nella seconda, sarà dimostrato che B è il sistema con- 

 giungente un certo numero di sistemi A/, se facciamo vedere che entro A[ 

 ogni sistema regolare isolato diverso da A 2 , ... , A„ congiunge un certo nu- 

 mero di questi sistemi. 



Ora, entro AJ i sistemi A 2 , A 3 , ... . A,, godono delle stesse proprietà di 

 cui godono A, ,A 2 ,... , A n su Y p ; quindi, ripetendo il ragionamento fatto 

 un sufficiente numero di volte, si vede che tutto si riduce a dimostrare 

 che entro il sistema A«_ 2 , congiungente A,,., e A n , non esistono sistemi 

 regolari isolati diversi (da A«_ 2 e) da A„_, e A n . 



Ora ciò è evidente, perchè A„_, e A„ sono complementari isolati entro 

 A^_ 2 , e nessuno di essi contiene sistemi regolari isolati di dimensione infe- 

 riore alla propria; dunque l'asserto è dimostrato. 



Di qua segue : 



1°) che i sistemi A, , A 2 , ... , A„ possono essere scelti su Y p in un 

 sol modo, se hanno da soddisfare alle condizioni del teorema del n. 3; 

 2°) che il numero totale dei sistemi regolari isolati di Y p è dato da 



■•-K»-iH"- 2 ' 



dove, grazie al fatto che ciascuno dei numeri qj è almeno uijuale ad 1, 

 n è un numero non superiore a p . 



Ma allora possiamo enunciare il seguente teorema: 



Una varietà algebrica Y p di irregolarità superficiale p (>1), e 

 indice di singolarità k, o non contiene sistemi regolari isolati di inte- 

 grali riducibili o ne contiene un numero finito. In questa seconda alter- 

 nativa, il loro numero totale è della forma 2" — 2 con 1 <C n ^E-P, e i 

 sistemi stessi sou forniti : 



a) da certi n sistemi regolari indipendenti A, , A 2 , ... , A„ , con 

 le dimensioni <:jj — 1, e gli indici di singolarità kj {j= 1,2 , ... , n) legati 

 dalle relazioni 



<?> + ■ ■• + ?« = ? 

 k x -j- k z -} — • -j- k n -+* n 1 = k ; 



b) e poi dai sistemi regolari {tutti distinti) che congiungono 

 quei sistemi kj a due a due. a 're a tre , ... , a n — 1 a n — 1; 



quindi ognuno dei sistemi Aj non contiene sistemi regolari isolati 

 di dimensione inferiore alla propria. 



