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In esso è contenuta come caso particolare la seguente proposizione: 



Se una varietà algebrica Y p , di irregolarità superficiale p (]> 1) 

 e indice di singolarità k, contiene soltanto un numero finito di sistemi 

 regolari di integrali riducibili J il loro numero totale è della forma 2" — 2 

 con n<-p, e i sistemi stessij nell'ipotesi che sia n^>l, cioè che quel 

 numero non sia nullo,, sono dati: 



a) da certi n sistemi regolari indipendenti k x , A 2 , ... , A„, con 

 le dimensioni qj — 1 e gl'indici di singolarità kj (j = 1, 2 , ... , n) legati 

 dalle reiasioni 



?i + ^H bQn=P 



+ k z H -\-k n -\-n — 1 = k ; 



b) e poi dai sistemi regolari {tutti distinti) che congiungono quei 

 sistemi kj a due a due, a tre a tre , ... , a n — 1 a n — 1 ; 



quindi ognuno dei sistemi kj non contiene sistemi regolari di inte- 

 grali riducibili di dimensione inferiore alla propria. 



In una Nota successiva faremo vedere come questo teorema rientri in 

 uno più generale, che dà un criterio per distinguere le varietà con infiniti 

 sistemi regolari di integrali riducibili da quelle che ne contengono soltanto 

 un numero finito. 



Qui ci contenteremo di fissare soltanto le seguenti osservazioni. 



Il massimo valore del numero n che appare nei due ultimi teoremi 

 è p, ed è n=p quando e solo quando i sistemi A x , A 2 , ... , A n si ridu- 

 cono a p integrali ellittici. Questo caso, come si dimostra subito valendosi 

 di un teorema del De Franchis ( 8 ), può realmente verificarsi ; e allora il 

 numero totale dei sistemi regolari esistenti è 2 p — 2 ; dunque : 



Una varietà algebrica di irregolarità superficiale p , che contenga 

 soltanto un numero finito di sistemi regolari di integrali riducibili, non 

 ne può contenere, ài più, che 2 p — 2, questo numero potendo essere effet- 

 tivamente raggiunto. 



Siccome, nell' ultimo teorema dimostrato, il sistema kj ha la dimensione 

 q 3 — le non contiene sistemi regolari di dimensione inferiore alla propria, 

 deve essere kj <. 2qj — 2 ( 9 ) ; quindi si ha : 



k < 2(q 1 + q 2 -| f- q n ) — 2n + n — 1 , 



cioè 



k <. 2p — n — 1 . 



( 8 ) De Franchis, Le varietà algebriche con infiniti integrali ellittici pRendiconti 

 del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXVIII (2° sera. 1914), pag. 192]. 



( 9 ) Scorza, Le varietà algebriche con indice di singolarità massimo, Note I e II 

 [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, ser. 5 a , voi. XXIV (2° sem. 1915), pp. 279-284 

 e pp. 333-338]: Nota II, n. 6. 



