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non è altro che l'integrale delle aree dell'originario problema piano dei 

 tre corpi. 



* 



11. — Angoli di Eulero - Interpretazione intrinseca. 



Dacché (§ 2) le configurazioni di S sono in corrispondenza biunivoca 

 coli' insieme (q, orientazione del corpo 0), possiamo assumere a coordinate 

 lagrangiane del sistema la stessa q e i tre angoli di Eulero %■ , cp , <|j , che 

 individuano l'orientazione della terna Ox XiXz solidale con C. 



Dalle note espressioni dei coseni direttori, avvertendo che (per la con- 

 venzione fatta di riguardare equivalenti gli indici congrui fra loro rispetto 

 al modulo 3) l' indice zero corrisponde a quello abitualmente designato 

 con 3, si ha 



(38) Yi = sin tì- sin 9 , y 2 = sin 3 cos cp , y = cos & ; 



inoltre 



a = sin -9- sin di , (3 = — sin ■9- cos <\> , 



le quali, complessivamente, dànno luogo ad una interpretazione dei para- 

 metri 9- , cp , '\> in relazione diretta col triangolo dei tre corpi. 



Per quanto concerne ^ e <j>, vi si perviene, ricordando (§ 1) che le 

 componenti % , y a del vettore P 2 — Pi sono legate alle corrispondenti £ ,y] 

 dalle equazioni 



#0 = £n — r io 1 Va = 2 £ TJo , 



le quali, per le (7) e per le espressioni surriferite di a ,p o , si scrivono 

 x = — q 2 sin*d- cos 2<\> , y = — ^ 2 sin 2 d- sin 2'j) . 



Da queste apparisce che sin 2 ì> = - — — — si identifica col rapporto 



fra il lato P^o e il semiperimetro q 2 (cfr. § 2) del triangolo dei tre 

 corpi , mentre 2<\ misura l'inclinazione dello stesso lato> più precisamente 

 del vettore P, — P 2 sull'asse delle ascisse: si intende che si tratta di incli- 

 nazione contata, al pari delle anomalie, positivamente nel senso Ox — > Oy. 



Il significato dell'angolo ? risulta poi ovviamente dalle (11) e (38). 

 Si ha infatti dalle (11) 



(v = , 1 , 2) , 



donde in particolare 



Ti g 2 — Pi 



yl q* — pi 



