— 505 — 



Scende da queste che, posto 



s = x-\-iy , f=g>-\-it/J, 



f è funzione della variabile complessa g (oltre che di t); scriveremo pertanto 



(1) (f +iq = f(s;t) = f\x + iy;t). 



Le condizioni al contorno provengono dall'esprimere: 



a) che tanto il fondo del canale, quanto il pelo libero l, sono linee 

 di flusso; 



b) che la linea / è pelo libero, cioè hiDgo essa la pressione deve 

 essere costante (ed eguale alla pressione atmosferica). 



Alla prima di queste condizioni si soddisfa esprimendo, notoriamente, 

 che tanto sul fondo, quanto sul pelo libero, la funzione di corrente xp deve 

 avere valori costanti. Si assuma 



(2) xp = 



/ i/ sopra l ; 



con ciò viene messo in evidenza che q è la portata della corrente. 

 Per soddisfare alla condizione b). ricordiamo che. posto 



le equazioni idrodinamiche di Eulero si compendiano nell'unica relazione 

 (la densità essendo = 1) 



-^y -)- - V 2 -j- gy -\- p — funzione della sola t , 



dove p designa la pressione. 



Sopra l dev'essere p costante : dunque 



(3) — 4- - V 8 -f- ffy = funzione della sola t, sopra l. 



Le (2) e la (3) esauriscono le condizioni al contorno. 



2. Per soddisfare a queste condizioni, conviene partire dalla (1) e, ap- 

 plicando l'artificio di lord Rayleigh, sviluppare la f{x -\- i n : t) in serie 

 di Taylor, rispetto alle potenze di y . 



Si avrà 



, +> ,_ A ,, <)+ ,,^_£g:+... 



