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Ora, poiché, per la prima delle condizioni (2), la f dev'essere reale per g 

 reale, avremo, separando nella precedente la parte reale dalla parte imma- 

 ginaria. 



dove, s' intende, la f e le sue derivate dipendono, in generale, oltre che 

 dalla variabile ce, anche dal tempo t. 



È lecito sfruttare le (4) tutte le volte si possa, sia pure a posteriori, 

 legittimarne l' uso, per ciò che concerne la convergenza e la derivabilità 

 delle serie ivi indicate ('), 



Supponiamo che di ciascuna delle serie (4) si possano trascurare i ter- 

 mini seguenti il primo. [■ - 



Si ha allora 



(5) , V 



Notiamo che la condizione al fondo è soddisfatta, qualunque sia la fun- 

 zione f{pc',t). Rimangono le due condizioni sul pelo libero: la seconda delle 

 (2) e la (3). Tenendo presenti le (5), tali condizioni si possono esprimere 

 nel modo seguente: 



/ X= 

 1 V ~hx q ' 



) — + ^( — \ + qy = funzione della sola t, 

 I (sopra /) . 



La eliminazione della f tra queste, fornisce un'unica relazione tra la y , x 

 e t, che definisce ad ogni istante la forma del pelo libero /. 



3. Eliminando in quest' ultima la — , a mezzo della prima, si ottiene: 



~òx 



~òt ~ r 2 y 



o 7J H~ Sftl = f imzwne della sola t . 



(') Cfr., a tale proposito, Levi-Civita, Sulla espressione del resto in una operazione 

 funzionale usata da lord Rayleigh [questi Kend., voi. XX (1911), pp. 605 e segg.]. 



