Da questo primo teorema, che è cioè infinita la somma della serie armo- 

 nica, il Mongoli trae due corollari. 



« Primum, quod eadem dispositio, a quocumque ordinetur principio, in 



« infinitum extenditur; utpote si dispositarum fractionum prima sit -, et 



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« aliae deinceps adhuc ipsam dispositionem - - - - - &c. propositum 

 « quemvis numerimi superare posse: fìnitum enim est aggregatimi ex iis, 

 « quae sunt omissae - - - , et riniti ab infinito subtractio finitimi relin- 



Ù Ó 4r 



« quere non potest » . 



L'altro corollario è che è parimenti infinita la somma dei reciproci di 

 qualsivoglia progressione aritmetica. 



Essendo infatti b e e due interi positivi, se la serie, il cui termine gene- 

 rale è - — }■ — , si confronta colla serie il cui termine generale è t~. — , 

 b -j- ne b -j- n 



cioè la serie armonica a partire dal termine t, il l'apporto di due termini 

 corrispondenti delle due serie è maggiore di -, dal che segue che non si 



può assegnare nessun valore finito alla serie % - — r — > poiché questo 



a o -{-ne 



valore, moltiplicato per e, supererebbe la somma della serie 



à b -f- n 



che è assurdo. 



III. Il Mengoli procede poi ad esaminare le somme dei reciproci dei 

 numeri triangolari 



I 1 X J_ _L JL 



3 6 10 15 21 28 6CC ' 



e trova che * propositae fractiones aggregatae infinitae sunt aequales unitati ». 

 Poi continua dicendo: 



« Ab hums fractionum dispositionis contemplatione feliciter expeditus, 

 « ad aliarti progrediebar dispositionem in qua singulae unitates numeris qua- 

 » dratis denominantur. Haec speculatio fructus quidem laboris rependit, non- 

 « dum tamen affecta est solvendo, sed ingenii ditioris postulat adminiculum, 

 « ut praecisam dispositionis, quam mihimetipsi proposui, summa valeat 

 « reportare » 



E veramente diffìcile era questo problema di trovare la somma dei reci- 

 proci dei quadrati dei numeri. Leibniz, sebbene a lungo vi studiasse, pur 

 facendo passare per suo (') il desiderio di investigare la somma di questa 

 serie, non vi riuscì. 



(') In una lettera a Giovanni Bernoulli del novembre 1696 scriveva: 



« Circa suminam harmonicorum nondum mihi satisfeci, et vereor ne siiti deceptus. 



