Occorreva ancora quasi un secolo, prima che Eulero (') riuscisse a cal- 

 colarla, adoperando (come Giovanni Bernoulli ( 2 ) aveva osservato), un ele- 

 gantissimo teorema di Newton. 



Il Mongoli riesce però a trovare le somme delle serie 



y_j_ V-J_ v 1 



_ 'i* + '* ' _ n* -f 2n ' A n* -f- 3n ' 



k Unitates denominatae compositis ex quadratis ab imitate, et lateribus 



« eorumdem dispositae in intìnitum et aggregatae, sunt aequales unitati ». 



« Unitates denominatae compositis. ex quadratis ab unitate, et late- 



3 



ribus eorumdem duplis dispositae in infinitum, et aggregatae, sunt aequales 

 Nel secondo libro dimostra poi (pag. 63) : 



« Unitates denominatae solidis omnium mimerorum ab unitate in infi- 

 « nitum dispositae, et aggregatae, sunt aequales quartae parti unitatis »: 



6 + 2Ì + 6Ó 4 "T2U + eCC - = 4 

 « Unitates denominatae solidis omnium imparium ab unitate, dispositae 

 « in infinitum, et aggregatae. sunt aequales -rr » : 



_ 1_ + _J_ ._L_ . = J_ 



1 .3.5^3.5.7^5.7.9^"' ~ 12' 



E così prosegue poi a generalizzare ancora alquanto questi risultati 

 che invano Leibniz tentò di appropriarsi nella sua lettera ( 3 ) ad Oldenburg 

 del 3 febbraio 1672/3: 



<* Multa alia . . . observata sunt a me, ex quibus illud eminet. quod 

 « modum habeo summam inveniendi senei fractionum in infinitum decre- 



« Interim circa cognata proponam quae olim in mente venere, ubi et iudicium tuum et 

 « auxilium desidero. 



« Quaeritur somma horum numeroruin —-}----(- — -)- — etc.'?... ». 



1 4 ij IO 



Commercium phylosophicum Leibnitii et Bernoullii, Lausannae, 1745, tomo 1, 

 pag. 213. 



(') Euler, u Comm. Acc. scient. Petrop. ». tomus VII ad annos 1734-1735, Petropoli, 

 typis Acad. 1740, De summis serierum reciprocarum, pag. 124: « Deductus sum autem 



«super omnino inopinato ad elegantem summac huius seriei l+^ + jy + T^gH - 



« expressioiiem quae a circuii quadraturae pendet Inveni enim summae huius seriei 



« sextuplum aequalem esse quadrato circuii cuius diameter est 1 ». 



( 2 ) Joliannis Bernoulli, Opera Omnia 1742, tomo IV, pag. 25. 



( 3 ) Edizione di Gehrhardt, pag. 78. 



