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ammetta soluzione, è che sia convergente la serie 



2_lld* = YXl\ | b (p,{r) g{r) (ir !* , 

 e che la g(s) abbia la forma 



rb 



g(s) = v (pv(s) (p,{r) g(r) dr = y_d H ^(s) . 



In tre Note (*) precedenti, apparse in questi Rendiconti, ho conside- 

 rato dei casi particolari, stabilendo per essi delle condizioni necessarie e 

 sufficienti, indipendentemente dalla conoscenza degli autovalori del nucleo 

 e delle relative autofunzioni, senza però riuscire a stabilire una condizione 

 analoga pel caso generale- 



Qui invece, servendomi di alcuni risultati ottenuti in una Nota pre- 

 cedente ( 2 ), mi propongo di trasformare la condizione Picard-Lauricella, 

 rendendola indipendente dalla conoscenza degli autovalori e delle corrispon- 

 denti autofunzioni del nucleo dell'equazione data, che supporremo simmetrico. 



2. Siano X s gli autovalori, e (pi(s) le corrispondenti autofunzioni del 

 nucleo simmetrico K(s/), che, per maggior generalità, supporremo esser tale 

 che, se ammette l'autovalore X, ammetta anche l'altro — X. 



In una Nota precedente ( 3 ), abbiamo dimostrato che il nucleo 



K 2n ^(st) 

 E^st) = hm 



non può ammettere autovalori diversi da X 1 = -f- e / 2 = — — = ; e che, 



di fronte ad essi, si comporta come K(st). Come conseguenza, abbiamo 

 visto che 



tt / a ^ <fì r) (s) g>P(t) , y { {\s) 9 <{>(t) . 

 tu(st) = 2_ ] r _ i ' 



r=l A l r=i A 2 



dove pi e p 2 indicano il numero delle autofunzioni normalizzate e linear- 

 mente indipendenti, relative agli autovalori X, e X t rispettivamente. 



( 1 ) Vergerio, Sull'equazione integrale di 1" specie (seduta dell' 8 novembre 1914); 

 Una condizione necessaria e sufficiènte per l'esistenza di soluzioni nell'equazione inte- 

 grale di 1" specie (seduta del 6 giugno 1915); Sulla risolubilità dell'equazione iute- 

 graie di l a specie, voi. XXIV, fase. 3, 2° seni. 



( 2 ) Vergerlo, Gli autovalori e le autofunzioni dei nuclei simmetrici, Rendiconti 

 dei Lincei, voi. XXIV, fase. 7, 2° sem. 



( :l ) Ved. l'ultima delle mie Note citate, §§ 2 e 3. 



