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L'equaglianza delle parti reali si traduce appunto nella relazione caratte- 

 ristica della canonicità. 



Rileviamo ancora una conseguenza delle (61). (63), che si ottiene mol- 

 tiplicandole membro a membro, ed è 



(64) (p x + ip y ) {x — iy) = (Pu + ipt) = 



17. — Applicazione alle coordinate ellittiche. 

 Assumiamo in particolare 



(65) x -j- iy — \ q* cosh (u -\- iv) , 



le x , y essendo le coordinate cartesiane coll'origine in M , di cui al § pre- 

 cedente. Con ciò le u , v rappresentano notoriamente coordinate ellittiche, 

 le linee u = cost essendo ellissi e le v = cost iperboli omofocali : i fuochi 

 comuni cadono nei due punti =t \ p 2 dell'asse delle ascisse, cioè, nel caso 



nostro, in P, , P t 



Le espressioni delle distanze focali P e P 2 , P Pi , che, secondo le nota- 

 zioni dei §§ precedenti, vanno ordinatamente designate con p 2 ,pl> si otten- 

 gono tosto dalla (65), aggiungendo ad entrambi i membri zt \ p 2 , e pren- 

 dendo i moduli. Si trova così 



(66) pf = p 2 |cosh - (u -f- iv)\* , pi = p 2 1 sinh | (u -f- tv) | 2 . 



Si ha poi, considerando la (65), e scrivendo brevemente f , f per 

 f(u + iv) , f{u + iv) : 



f = ^ p* cosh (m -f- iv) , 

 f = - p 2 sinh (u -f- « y ) 

 |/"[»W-p< |sinh(w + /y| 2 = p 4 [ sinh \{u + *'y) | 2 1 cosh \{u + z'y) | 2 , 



e quindi, badando alle (66), 



(67) |/"| 2 = p 2 p 2 . 



Con questa determinazione di |/"'| 2 , la (63), eguagliando il quadrato dei 

 moduli dei due membri, porge 



< 68 ) Pl + Pl = -L(Pu + VS)' 



pi p2 



