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Da questo risulta subito che, ove nelle (71) si sostituisca al tempo t 

 una variabile indipendente ausiliaria i*, definita mediante la posizione 



(74) dt = 9 lpldt*, 



si è condotti ad un nuovo sistema canonico di funzione caratteristica F* : 



du 



W* 



dv 



7>F* 



dt* ~ 





' dt* = 





dp u 





dp K 



DF* 



dt* ~~ 





' dt* ~ 





equivalente a (71), nell'ambito delle oo 3 soluzioni che corrispondono ad 

 uno stesso valore: C di F. e zero di F*. Quest'ultimo sistema presenta 

 sul primo il vantaggio di essere completamente regolarizzato. Infatti, 

 attesa l'espressione (70) di F, e l'espressione (58) di U (l) , nella nuova fun- 

 zione caratteristica F*, viene a scomparire il denominatore pipi, talché la F* 

 stessa si presenta come polinomio di secondo grado in p ut p v , i cui coeffi- 

 cienti, esplicitati a norma delle (66'), sono tutti trascendenti intere in u , v. 



La regolarizzazione del problema ristretto, così conseguita, non differisce 

 sostanzialmente da quella, già effettuata da N. Thiele ('), delle equazioni 

 di secondo ordine in u,v. Si ritrovano infatti immediatamente le equazioni 

 del Thiele, eliminando p u , p v dalle (71'): d'altra parte era pur stato notato 

 che le equazioni regolarizzate di Thiele sono suscettibili di forma canonica, 

 coli' introduzione di opportune ausiliarie p u ,p v ( 2 )- Nulla dunque di nuovo 

 in questi nostri sviluppi concernenti il problema ristretto: essi hanno sol- 

 tanto lo scopo di facilitare il confronto con le formule che ora ci accingiamo 

 a dedurre come caso limite della nostra trattazione generale concernente il 

 problema piano. 



19. — Ritorno al problema regolarizzato per m infinitesima - 

 Ordine di grandezza di varii elementi - Approssimazione dei 

 primi dde ordini. 



Supponiamo m trascurabile di fronte ad m^m^, tutto rimanendo del 

 resto finito : intendiamo con ciò che, assieme con nix , m?, , anche le coordi- 

 nate del sistema regolarizzato e loro derivate vanno trattate come quantità 

 finite. 



(') Recherches numériques concernant dea solutions périodiqnes d'un cas special 

 du problème des trois corps (troisième Mémoire), Astronomische Nachricb., B. CXXXVIII, 

 1895, pp. 1-10. 



( B ) Cfr. la prefazione della bella Memoria del sig. Birkhoff, The restncted problem 

 of the three bodies, testé apparsa nei Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 

 tomo XXXIX, pp. 265-334. In questa Memoria è anche assegnata (§ 5) una nuova tras- 

 formazione regolarizzante, puramente algebrica. 



