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Dato un punto x generico (che non sia di singolarità per nessuno dei 

 rami della funzione), consideriamo tutti gli elementi analitici corrispondenti 

 ai diversi valori della funzione in quel punto. 



Diremo che: 



I) Il punto x è un punto regolare d'indice g, qualora il limite 

 inferiore dei raggi di convergenza degli sviluppi sia (>=^=0; 



II) è un punto regolare d'indice zero, o quasi singolare, se zero 

 è limite inferiore dei raggi, senza essere il minimo; 



III) è punto singolare se zero è il minimo: e, precisamente, di 

 singolarità parziale se il limite superiore dei raggi è diverso da zero; di 

 singolarità quasi totale se esso è zero, ma se vi sono dei q (necessariamente 

 in numero finito) diversi da zero: di singolarità totale se tutti i q sono 

 zero. 



Le stesse definizioni si adottano per linee e per le aree: notiamo, poi, 

 che le definizioni ora date equivalgono a dire che : 



I) in un cerchietto di raggio g, attorno ad x , non v'ha alcun punto 

 di singolarità di nessun elemento analitico ; 



II) il punto x è punto limite di singolarità dei differenti elementi. 

 Ili) esso è punto di singolarità per qualche elemento, o non lo è 



per qualche elemento, o lo è per tutti. 



2. Con tali definizione, valgono i teoremi : Per una funzione polimorfa: 



a) L'insieme dei punti d'indice maggiore o eguale a g, è un insieme 

 chiuso : E p . 



Infatti, se x- Q , % x , x n , ... è una successione di punti tendenti ad x, 

 nel cerchietto di raggio e, piccolo a piacere, descritto intorno ad x, vi 

 saranno dei punti x n . Descrivendo attorno ad uno di questi un cerchietto 

 di raggio g , in esso valgono tutti gli sviluppi dei singoli elementi anali- 

 tici : e quindi, per noti teoremi della teoria delle funzioni analitiche (osser- 

 vando che un cerchietto di raggio g — e attorno ad a; è compreso in quello 

 di raggio g), potremo dire che in uu cerchietto di raggio g — e valgono tutti 

 gli sviluppi riferiti al punto x . 



Ma e è piccolo a piacere: quindi tutti gli elementi riferiti ad x avranno, 

 come campo di convergenza, almeno un cerchio di raggio g , e quindi x è 

 d' indice eguale o maggiore di g . 



b) L'insieme E dei punti singolari e quasi-singolare è chiuso: 

 cioè il punto limite d'una successione di punti singolari, o quasi, è un punto 

 singolare o quasi. 



c) L'insieme dei punti quasi singolari è concentrato. 



d) V insieme dei punti singolari è concentrato. 



e) L'insieme E dei punti di singolarità totale è chiuso. 



Questi cinque teoremi — evidenti, del resto — estendono il teorema : 

 L'insieme dei punti singolari d'una funzione monodroma è chiuso. 



