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Inoltre, si può fare una classificazione delle funzioni polimorfe in base 

 al modo con cui sono formati gli insiemi E p , B , E : si può chiamare così 

 una funzione polimorfa regolare se l'insieme E è costituito da puuti che 

 ammettono un solo punto limite (si può sempre supporre che esso sia 1' oo) ; 

 e funzione polimorfa singolare se E occupa tutto il piano. 



In tal caso il punto x a , da cui abbiamo preso le mosse al n. 1, non 

 esisterebbe ; ma è facile il vedere che ciò che diremo muterebbe di pochissimo 

 come enunciato, nel caso che vi fosse almeno un punto quasi-singolare. 



Se invece non vi fossero cbe punti totalmente o parzialmente singolari, 

 diremmo che la funzione è polimorfa irregolare: per ora escluderemo 

 queste. 



3. Passiamo ora al concetto di prolungamento analitico complessivo. 

 Dati nel piano due punti A,B, non singolari nè quasi singolari: congiunti 

 A e B con un qualsiasi arco di curva semplice (privo di cappi), invece di 

 prolungare da A a B i singoli elementi analitici, prolunghiamoli tutti in 

 blocco. 



Con semplici ragionamenti, si vede che, se sull'arco AB non cadono 

 punti singolari o quasi, si andrà da A in B con un numero finito di ope- 

 razioni di prolungamento complessivo di raggio q . 



Se invece su A B (estremi inclusi) vi sono dei punti quasi singolari, 

 ciò non è più possibile; ma dato r grande ad arbitrio, si potranno deter- 

 minare in corrispondenza un intero n r ed un raggio g r , in modo che i 

 primi r elementi si prolunghino complessivamente da A a B mediante n r 

 operazioni di raggio Q r : per r tendente all'infinito, a r vi tende anche, e Q r 

 tenderà a zero. 



Infine, se su A B vi è un punto di singolarità, il prolungamento 

 complessivo diventa impossibile: e lo sarà anche l'ordinario, se la singola- 

 rità è totale. 



Diremo che l'arco AB è regolare, nel primo caso; quasi singolare nel 

 secondo; singolare nel terzo. Se AB è regolare, e q è il minimo indice dei 

 suoi punti, diremo che A B è d' indice q . 



4. Per la trattazione del gruppo di monodromia d'una funzione polimorfa, 

 bisogna considerare gli insiemi E p : i cammini in E p definiranno un sotto- 

 gruppo G p del gruppo di monodromia. 



Per le funzioni polimorfe regolari (ammettendo come punto-limite della 

 successione E a l'co). l'insieme E p si ottiene descrivendo dei cerchi di 

 raggio q attorno ai punti di E e considerando la parte esterna a tutti questi 

 cerchi. 



Può darsi che sia possibile di trovare un numero q sufficientemente piccolo 

 in modo che tutti i cerchietti di raggio q , descritti attorno ai punti £ di E , 

 risultino staccati; o che ciò non sia possibile. Naturalmente, ciò proviene dal 

 fatto che l'insieme £> — £ s j ammette limite inferiore diverso da zero, 

 oppur no. 



