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Nel primo caso, il gruppo di monodromia si ottiene considerando quello 

 relativo all'insieme E p : le sue sostituzioni generatrici si ottengono girando 

 in E ? con cammini di indice g attorno ai punti £ di E 9 . 



Nel secondo caso invece, il gruppo di monodromia, si ottiene dai sotto- 

 gruppi Gr p , , G pa , Gp, ... ove q„ tende a zero: come si vede, qui entrano le 

 questioni di convergenza astratta. 



Infatti, supponiamo d'avere due funzioni polimorfe: una per cui esistano 

 due sol punti singolari (l'origine e l'infinito); l'altra, una qualunque fun- 

 zione polimorfa regolare. La somma di esse sarà ancora una funzione poli- 

 morfa regolare. Però noi vedremo che la singolarità della prima fun- 

 zione sparisce nella somma, più non essendo resa visibile dal fatto che 

 1' oo è per la seconda un punto di quasi singolarità (anche senza essere di 

 diramazione). 



Si può presentare quindi il seguente caso: data una successione di punti 

 singolari e di diramazione £„ . f, ... tendenti ad un punto limite £ . ricono- 

 scere se £ sia semplicemente un punto singolare, oppure ad esso sia sovrap- 

 posto un punto di diramazione. E ovvio allora costruire dei cammini chiusi 

 (supporremo d'avere funzioni regolari) che circondano f 9 , fi ... £ ; £, , £ 2 ... ? ; 

 £ 8 , £ 3 : se S, , S 2 , S 3 , ... sono le sostituzioni ad essi dovute e se 



questa successione di sostituzioni converge astrattamente ad S . S sarà la 

 sostituzione relativa al punto ? . 



5. Per le funzioni polimorfe può accadere che i campi Ep non sieno 

 connessi, ma constino di pezzi staccati : ciò è dovuto esclusivamente a 

 linee chiuse di quasi-singolarità oppure a parti staccate di lacune, che si 

 riferiscono a diversi rami, ma che, riuniti assieme, non permettono il prolun- 

 gamento complessivo. 



Come abbiamo già detto, il primo caso non presenterebbe alcuna diffi- 

 coltà, nè alcuna alterazione negli enunciati. Nel secondo caso invece entrano 

 in considerazione le catene. 



Si consideri infatti una funzione polimorfa assegnata coi suoi elementi 

 in un punto x d'indice o; essa abbia l'origine e 1' co come punti di dira- 

 mazione, ed una semiretta r non passante per x , dall'origine, come sezione 

 per il solo elemento fi ( 1 ). 



Ora, un qualunque cammino chiuso passante per x , attorno all'origine, 

 non può essere considerato come cammino di prolungamento complessivo se 

 lungo esso si vuol prolungare />, . D'altra parte, essendo l'origine e l' 00 

 soli punti di diramazione, girando attorno ad essi, i rami si devono per- 

 mutare. 



Quindi un cammino chiuso, percorso in un senso, dovrà portare pi ad 

 arrestarsi alla semiretta r, e rendere impossibile il prolungamento com- 



(') Possono elfettivamente esistere tali funzioni ? 



