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Grazie al teorema di Severi sul sistema congiungente due sistemi rego- 

 lari di integrali riducibili, è chiaro che, nell'esame di una varietà algebrica, 

 contenente infiniti sistemi regolari di integrali riducibili, giova fissar l'atten- 

 zione su quelli, fra di essi, che non contengano sistemi regolari di dimensione 

 inferiore alla propria, o, come diciamo, che siano puri: essi appariscono, 

 infatti, come gli elementi primi con cui possono comporsi tutti gli altri. 



L'osservazione, come si vede, è molto semplice; ma sembra, anche, assai 

 feconda, poiché conduce a introdurre, per lo studio della configurazione dei 

 sistemi regolari di una varietà algebrica che ne contenga infiniti, una serie 

 di caratteri che sono altrettanti numeri interi. 



Noi dimostriamo, infatti, che il sistema degli integrali di una tale varietà 

 algebrica può considerarsi, in infiniti modi diversi, come il sistema congiun- 

 gente di un conveniente numero di sistemi regolari puri indipendenti; ma, 

 comunque si proceda, restati sempre gli stessi, il numero di codesti sistemi 

 puri, le loro dimensioni e i loro indici di singolarità. 



1. Un sistema lineare oo? -1 di integrali (semplici, di l a specie) con 

 2q periodi di una varietà algebrica di irregolarità superficiale _> q , si dirà. 

 puro o impuro, secondo che non contiene o contiene sistemi lineari oo r_1 di 

 integrali con 2r periodi, essendo r <^q . 



Da questa definizione segue subito che : 



Un sistema lineare impuro di integrali contiene sempre qualche sistema 

 puro ; ed è poi chiaro che : 



Se di due sistemi regolari di integrali riducibili, appartenenti a una 

 stessa varietà algebrica, uno è puro e l'altro è impuro, essi o sono indi- 

 pendenti o si appartengono ; se invece sono entrambi puri, essi o sono 

 indipendenti o coincidono ( 1 ). 



2. Due sistemi lineari oo?- 1 di integrali con 2q periodi, aventi lo stesso 

 indice di singolarità, si diranno isomorfi, se sono entrambi puri ; oppure se 

 sono entrambi impuri e può stabilirsi una tale trasformazione omografica del 

 primo nel secondo, che l'insieme dei sistemi regolari di integrali riducibili 

 appartenenti al primo si rifletta nell' insieme analogo del secondo, due sistemi 

 regolari omologhi riuscendo sempre (di egual dimensione e) di eguale indice 

 di singolarità. 



Evidentemente, sistemi di integrali isomorfi ad uno stesso sono iso- 

 morfi fra di loro ; ed allorché due sistemi impuri sono isomorfi, in ogni 

 omografia, che ne metta in luce l' isomorfismo, risultano isomorfi i sistemi 

 regolari omologhi di integrali riducibili. 



3. La prima osservazione del n. 1 può essere precisata. Si ha, cioè, che: 



(') Cfr. Scorza, Sugli integrali abeliani riducibili [Rendiconti della R Accademia 

 dei Lincei, serie 5», voi. XXIV (1° seni. 1915). pp. 412-118 e pp. 645-654], pag. 418. 



