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Un sistema lineare impuro di integrali può sempre considerarsi come 

 il sistema congiungente un certo numero di sistemi regolari puri indi- 

 pendenti di integrali riducibili. 



Per rissar le idee, possiamo supporre, com' è lecito, che il sistema lineare 

 impuro considerato sia quello, H, di tutti gli integrali di una varietà alge- 

 brica V; cosicché V conterrà, per ipotesi, qualche sistema regolare puro di 

 integrali riducibili. Sia, uno di questi, il sistema A , e sia A' un comple- 

 mentare di A su V . 



Siccome H è il sistema cougiungente A con A', se A' è puro il teorema 

 è dimostrato; se no. sia B un sistema puro contenuto in A', e B' un com- 

 plementare di B in A'. 



Siccome A' è il sistema congiungente B con B', H risulta il sistema 

 congiungente dei sistemi indipendenti A . B e B', ove A e B sono già dei 

 sistemi puri. 



Ora, se B' è puro, il teorema è dimostrato; se no, si applicherà a B' 

 il discorso fatto già per H e per A'. Siccome il procedimento non può essere 

 illimitatamente proseguito, si finirà per trovare che H è il sistema congiun- 

 gente di un certo numero di sistemi regolari puri indipendenti A , B , C , ... , L , 

 e allora il teorema sarà dimostrato 



4. Un gruppo di sistemi puri di un sistema impuro H, che siano indi- 

 pendenti e che abbiano H quale sistema congiungente — tale è ad es.. per 

 il sistema H del u. 3. il gruppo A , B , C , ... , L ivi trovato — , si dirà un 

 gruppo fondamentale (di sistemi puri) di H . 



Per estensione si dirà poi gruppo fondamentale di un sistema puro 

 il sistema medesimo. 



In ciascun gruppo fondamentale di un sistema impuro H, un sistema 

 qualunque del gruppo e il sistema cougiungente tutti gli altri sono fra loro 

 complementari; quindi ogni gruppo fondamentale di H può essere ottenuto 

 col procedimento adoperato più sopra, e ogni sistema puro di H fa parte 

 di qualche suo gruppo fondamentale. 



Gruppo fondamentale di una varietà algebrica è poi un gruppo fonda- 

 mentale del sistema totale dei suoi integrali. 



5. Un sistema lineare di integrali, o, ciò che in sostanza è lo stesso, 

 una varietà algebrica può avere più gruppi fondamentali; e, anzi, se ne ha 

 più di uno, ne ha infiniti (u. 6). 



Ora il risultato finale a cui miriamo consiste nel dimostrare che in 

 questa seconda alternativa ì vari gruppi fondamentali della varietà risul- 

 tano tutti costituiti di ano stesso numero di sistemi puri, quelli di un 

 gruppo essendo inoltre isomorfi rispettivamente a quelli di ogni altro. 



6. Sia Y p una varietà algebrica, di irregolarità superficiale p e indice 

 di singolarità k, dotata di sistemi regolari di integrali riducibili, e siano 

 A, , A t , ... , A„ (n .> 2) i sistemi puri di un suo gruppo fondamentale; siano 



