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poi q, — 1 e kj la dimensione e l' indice di singolarità del sistema A,- . 

 Allora si ha, in primo luogo, 



0) 01 + SH H?n = />, 



e, in secondo luogo, 



(2) k\-\-k l + ----\-k n + n- \ <:A, 



dove vale il segno superiore o l'inferiore, secondo che è infinito o finito 

 l'insieme dei sistemi regolari di integrali riducibili di Y p . 



Siccome la (1) è conseguenza immediata della definizione di gruppo 

 fondamentale, occupiamoci soltanto della (2), e diciamo A^' il sistema con- 

 giungente i sistemi puri Ai,A s ,.. , Ay, e k (jì il suo indice di singolarità. 

 Naturalmente, A (n) sarà il sistema totale degli integrali di Vj,; e A (1) , k il) 

 e k lnì saranno, rispettivamente, la stessa cosa che A x , k t e k. 



Nel sistema A (J> , per _/_> 2, Aj e A° _I) sono fra loro complementari; 

 quindi essi hanno in A (J) uno stesso coefficiente di immersione. Diciamolo 



Per quanto abbiamo stabilito altrove, sarà, successivamente ( l ) , 



Ai + A 2 -f- 1 == A (2) — A (2 > ; A (2) -f k 3 -f 1 = A (3) — >l (3) ; ... ; 

 A '" 1 ' + A„ + 1 = A — A<">; 



e quindi : 



A, -f- AH h A» -f- n — 1 = A —'5 ■ 



Siccome ciascuna A^' è positiva o nulla, segue che nella (2) vale il 

 segno superiore o l'inferiore, secondo che una almeno o nessuna delle 

 è diversa da zero. 



Nel primo caso, uno almeno dei sistemi A c ^ (e precisamente quello 

 per cui è diversa da zero la corrispondente) contiene infiniti sistemi 

 regolari di integrali riducibili, e quindi la stessa cosa può dirsi per la va- 

 rietà V p . 



Nel secondo caso, A„ e A ( " -1) risultano isolati su V p ; poi A n _! e A (n-!) 

 risultano isolati entro A ( " -1) , e quindi anche su V p ; e via dicendo ( ? ). Ma 

 allora A, , A 2 , ... , A H sono tutti isolati su V p , e V p contiene soltanto un 

 numero finito di sistemi regolari di integrali riducibili ; i quali, come sap- 

 piamo, sono dati tutti dai sistemi A ; - e da quelli (impuri) che li congiun- 

 gono a due a due, a tre a tre, ... , a n — 1 a n — 1 . 



Con ciò è stabilito il teorema enunciato; e si vede, anzi, che la nostra 

 Y p contiene uno, ed un solo, gruppo fondamentale di sistemi puri, quando, 



(') Scorza, Sugli integrali abeliani riduciòili ^Rendiconti della R. Accademia dei 

 Lincei, serie 5 a , voi. XXIV (2° sem. 1915), pp. 393-400], n. 5. 

 (2) Loc. cit. '>. 



