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e solo quando, non contiene che un numero finito dì sistemi regolari di 

 integrali riducibili. 



7. Se A. è un sistema regolare di integrali riducibili appartenente 

 a una varietà algebrica V, ed k! e A" sono due suoi diversi complementari 

 su V, A' e A" sono isomorfi. 



Supponiamo introdotta la solita rappresentazione geometrica del sistema 

 degli integrali di V, per modo da poter parlare di sistemi nulli di V, di 

 assi di A . A' , A r . ecc. ('). Siccome A' e A" sono complementari ad A , è 

 possibile in infiniti modi scegliere due sistemi nulli (non singolari) tp e cp r 

 di V, dei quali l'uno, <p'. porti l'asse A,', di A', in quello di A, e l'altro, 

 5p", l'asse di A in quello, A[\ di A". Ma allora il prodotto è una 



omografia razionale, che muta ìd sè tanto l' imagine quanto l' imagine con- 

 iugata del sistema totale degli integrali di V. e che trasforma l'asse A{ 

 nell'asse A,", ogni spazio 4 razionale contenuto in A[ in uno spazio razionale 

 contenuto in A", e ogni sistema nullo razionale di A[ (o di uno spazio ra- 

 zionale subordinato ad A,') in un sì fatto sistema nullo di Al' (o di uno 

 spazio razionale subordinato ad A,"). Tanto basta, evidentemente, per con- 

 cludere che A' e A'' sono isomorfi ( 2 ). 



8. Ciò posto dimostriamo che : 



Se una varietà algebrica contiene sistemi regolari di integrali 

 riducibili, ma è priva di sistemi regolari isolati, i suoi sistemi regolari 

 puri sono tutti isomorfi tra di loro: cioè, hanno tutti la stessa dimen- 

 sione e lo stesso coefficiente di singolarità. 



Sia V la varietà algebrica considerata, la quale, come è chiaro, con- 

 tiene certo infiniti sistemi regolari puri : e supponiamo, se è possibile, che 

 questi sistemi puri non siano tutti isomorfi tra di loro, o perchè non hanno 

 tutti la stessa dimensione, o perchè, pur avendo una stessa dimensione, non 

 hanno tutti lo stesso indice di singolarità 



In ogni caso sia A un sistema puro di V, tale che non esistano su V 

 sistemi puri di dimensione inferiore a quella di A. 



Ciascun sistema puro A, di V, non isomorfo ad A, non potrà essere 

 indipendente da un qualsiasi complementare di A : poiché o Ai ha dimen- 

 sione superiore a quella di A e allora l'affermazione fatta è senz'altro evi- 

 dente; o A, ha la stessa dimensione di A, ma non lo stesso indice di 

 singolarità, e allora (n. 7) non può avere con A uno stesso complementare. 

 Segue (n. 1) che ciascun complementare di A contiene tutti i sistemi puri 

 di V non isomorfi ad A . 



Chiamiamo B il sistema regolare di integrali riducibili, di dimensione 

 minima, che, in base a quanto è stato detto, contiene tutti i sistemi puri 



( l J Si tengano presenti le Note citate in ,} e 



( 2 ) Se i sistemi A.' e A" sono puri, il teorema, del testo si riduce al teorema IT 

 della Nota citata in s) e ivi dimostrato per via diversa da quella attuale. 



