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Ora si consideri in BI il complementare di B 2 che è il sistema B 2 

 congiungente B 3 , B 4 , ... , B m ; in B 2 il complementare di B 3 . e così via; 

 e si ripeta a volta a volta il ragionamento fatto. Si troverà, alla fine, che 

 il gruppo fondamentale (3) si spezza in m gruppi parziali, diciamo 



(4) A| , A 2 , ••• , A n) ; A„ 1+1 . ... , A„ 1+ „ a ; ... ; A„ m _ 1+I , ... , A n 



che costituiscono, ordinatamente, altrettanti gruppi fondamentali di sistemi 

 puri di B, , B 2 , ... . B m . 



Ma ciascun sistema B; non contiene sistemi regolari isolati di V di 

 dimensione inferiore alla propria, cioè non contiene sistemi regolari che 

 siano isolati in esso, dunque un gruppo paniale (4) o contiene un solo 

 sistema puro, e allora coincide col corrispondente sistema Bj; o è formato 

 di sistemi puri, tutti isomorfi tra di loro, e in tal caso il numero dei suoi 

 sistemi, la loro dimensione comune e il loro comune indice di singolarità 

 dipendono soltanto dal corrispondente sistema B,-. 



Segue che o i sistemi B, sono tutti puri, e allora m = n, i sistemi By 

 coincidono coi sistemi A ; -, e V ammette un solo gruppo fondamentale; o fra 

 i sistemi B ; - ve n' è almeno uno impuro, e allora V ammette infiniti gruppi 

 fondamentali distinti, ma questi contengono tutti lo stesso numero di sistemi 

 puri, i sistemi di uno risultando rispettivamente isomorfi a quelli di qual- 

 siasi altro. 



Dalle cose dette qui e nel num. precedente ricaviamo il seguente teo- 

 rema generale: 



Una varietà algebrica dotala di infiniti sistemi regolari di inte- 

 grali riducibili ammette infiniti gruppi fondamentali distìnti di sistemi 

 puri. Due qualunque dì questi gruppi contengono però lo stesso numero 

 di sistemi puri, e i sistemi dell'uno sono ordinatamente isomorfi a quelli 

 dell'altro. 



Inoltre è chiaro che : 



Se una varietà algebrica ammette infiniti sistemi regolari di inte- 

 grali riducibili, in ogni suo gruppo fondamentale appariscono almeno due 

 sistemi puri isomorfi; 



e quindi : 



Se in un gruppo fondamentale di una varietà algebrica non com- 

 paiono sistemi puri isomorfi, il gruppo è unico e la varietà contiene sol- 

 tanto un numero finito di sistemi regolari di integrali riducibili. 



10. Precise norme accademiche ci hanno costretti a rimandare a un 

 lavoro, che sarà pubblicato altrove, alcune semplici considerazioni, le quali 

 fanno riconoscere che nel teorema del n. 6 è implicitamente contenuta la 

 generalizzazione completa di un notevole teorema del sig. De Franchis ('); 



(') De Franchis, Le varietà, algebriche con infiniti integrali ellittici [Rendiconti 

 del Circolo matematico di Palermo, tomo XXXVIII (2° sem. 1914), pag. 192]. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV. 2" Sem. SO 



