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5°) funzioni Y h [k= \ ,2,3,...) soddisfacenti alle seguenti condi- 

 zioni : 



YZ+ihp — ?)V*=0 per a<x<b) 



V 7 ' t — AV ft = « x = a \ (k = 1 , 2, 3 ,...)', 



v; f + e v ft = o - x = i> \ 



dove p e q sono funzioni continue e positive della x, la prima delle quali 

 non s'annulla nell' intervallo (a,b); h e q sono delle costanti positive date, 

 e A ft una costante positiva ben determinata per ogni soluzione V ft . 



Se <jpv(s) (v = 1 , 2 , 3 , ...) rappresenta una successione qualunque di 

 funzioni della classe suddetta <t>, sussistono i seguenti teoremi ( ! ): 

 a) Se la serie 



00 rb 



^ (p-,(s) il* , d H = I v( s ) ^ s 



^ uniformemente convergente, sarà 



ao 



m tutti i punti dì (a , b) in cui la funzione g(s) è continua. 



Da questo teorema discende, come corollario, l'altro, di cui faremo uso : 

 Se la funzione data g(s) è tale che le costanti d*, da un indice n 

 in poi, siano tutte nulle, sarà 



n 



g{s) = ]T g>i{s)d H , 



in tutti i punti di (a , b) in cui la g{s) è continua. 



/?) Qualunque sia la g(s), purché limitata ed integrabile, sarà 

 sempre valido lo sviluppo 



rb « rb 



) \g(*)\*d* = X d * '■> d -> = I 9>t{s) g(s) ds . 



^ a t=l 



2. Ciò premesso, consideriamo l'equazione, a nucleo simmetrico, 



(1) C K{st) 6(t) dt = , 



o a 



e proponiamoci di studiare la natura delle sue soluzioni. 



Nella (1), dopo aver mutato s in r, se ne moltiplichino ambo i membri 

 per K(sr) dr e si integri; avremo così la successione 



C~K n (st)0{t)dt = 0. («--1,2,...) 



J a 



( l ) Stekloff, Sur certaines égalités yénérales ecc. Mem. de l'Académie imperiale 

 des sciences de St. Pétersbourp, VII! sèrie, tomo XV, n. 7, 



