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Si dividano ambo i membri della 2n esima uguaglianza, così ottenuta, 

 per y n ('), e si passi al limite per 72=00. Ricordando ( 2 ) che la funzione 



^■*"( s ^ tende, al crescere di n, uniformemente ad una funzione E(st) con- 



y n ' 



tinua. positiva e non identicamente nulla, avremo al limite l'equazione 



(2) { b E{st)6(t)dt = 0, 



le cui soluzioni sono tutte rappresentate da 



(3) 6(s) = x(s) - f b E(s/) X (t) Ut , 



' a 



dove %(s) è una funzione qualunque, purché integrabile e finita. 



Infatti, che ogni 0(s) definita dalla (3) sia soluzione della (2), lo si 

 vede subito, sostituendo in questa, a 6(t), l'espressione (3) ed osservando che 



Pu/ in/ ,w r ( b &Usr) K 2 „(rt) K 4n {st) , 



) H(sr) ì±[rt) dr = lim - ^ — dr = lim — ^ — = H(sO; 



J a n—ooJa Y Y n— co Y 



d'altra parte, è poi evidente che, se ip(s) è una soluzione della (2), si potrà 

 sempre scrivere 



xfj{s) = ip{s) — f E{st) tp{t) dt , 



J a 



e che quindi la ip(s) si potrà mettere sotto la forma (3) 



La (3) rappresenterà perciò tutte le soluzioni della (2); e, poiché tra 

 le soluzioni di questa vi sono evidentemente anche quelle della (1), potremo 

 affermare che la (3) rappresenterà anche tutte le soluzioni della (1). 

 Sostituiamo nella (1). a 0(/), il valore dato dalla (3). Essendo 



^K(st) dt [ b E(tr) X (r) dr = ìim C K *»^ sr) x { r ) dr = lini 



'a J a n— oo ■-'a Y » — "» " 



avremo 



Xi{s) = lim 



r 



E poiché 



hm — = hm - ) K t (sr) dr ; ^— L %(t) dt = 



n=» Y «— ao Y--a ^' a Y 



= l - pK^r) lim dr = Pk,(^) 



v . L v v n_1 v v 



Y^a 11— ce Y 



(') Si ricordi che y = lini y n e clic ;' n = 



(*) Schinidt, EntWìcklunq willkùrlirher Functionen nach Systemen porc/eschrie- 

 bener. Inaugnral-Dissertation, GÒttingen 1905, § 11. 



