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Il secondo fattore di questo prodotto è nullo solo pei valori X x = -| — L , 

 1 Vy 

 A 2 = — ; dovrà quindi essere necessariamente 



Vr 



d, = (v = 8 ,4,0 ,...). 



Con ciò avremo 



(6) gi (s) = 1 *^ + > , 



dove fi e jo 2 rappresentano il numero delle autofunzioni linearmente indi- 

 pendenti, relative a ^ e 1? rispettivamente. 



Dall'ultima eguaglianza si deduce, notando che X\y = kly = l, 



■ = ^_ <fi{s) d H -f 2. ^(*) = X ^( s ) ^ ' 



7 y=l v=] v=l 



avendo posto p x -f 7^-2 = • 



La (4) può quindi scriversi 



(4') 0(«)=» — Ì>,(«K (')• 



4. Facciamo l'ipotesi che le costanti y n , relative a K(st), siano tutte 

 eguali tra loro. Sappiamo ( 2 ) che allora la (5) è sempre soddisfatta, qua- 

 lunque sia la g(s), purché finita ed integrabile in (a , b). Le soluzioni 0(s) 

 non potranno, in questo caso, essere tutte identicamente nulle; perchè, se 

 ciò fosse, si dovrebbe avere, per ogni funzione finita ed integrabile g(s), 



*«-•*#, 



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e si dovrebbe conchiudere ( 3 ) che l'equazione 



g(s) = f K{st) h(t) dt 



(') Il Lauricella aveva già incidentalmente osservato {Sopra alcune equazioni inte- 

 grali. Rendiconti della R. Accad. dei Lincei, seduta 21 giugno 1908) che le soluzioni 

 della (1) si possono mettere sotto la forma 



X(s) — Z <jPv(s) f <p v (s) x(s) ds , 



dove x( s ) è una funzione integrabile qualunque. Non avendo pero approfondito la que- 

 stione, non aveva notato che le %(s) non possono essere qualunque, e che la serie si 

 riduce alla somma d'un numero finito di termini. 



( a ) Vergerio, Una condizione necessaria e, sufficiente per l'esistenza di soluzioni 

 nell'equazione integrale di 1" specie. Questi Rendiconti, seduta 6 giugno 1915. 



( a ) Cfr. la prima delle mie Note citate. 



