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ammette soluzione, qualunque sia la g(s), purché integrabile e finita; il che 

 evidentemente non può essere. Possiamo pertanto affermare che 



se le costanti y„ di K(st) sono tutte eguali tra loro, le soluzioni 

 4(s) della (1) non possono essere tulle identicamente nulle; ed anche (ciò 

 che è poi lo stesso) che condizione necessaria affinchè la (1) sia a fun- 

 zione caratteristica (') chiusa è che le costanti y n non siano tutte eguali 

 tra loro. 



5. Osserviamo che dalla (4) si deduce immediatamente che. se K(st) 



è una funzione limitata entro il suo campo di variabilità (tale essendo 



allora anche la ), la g(s) sarà anch'essa limitata o no, a seconda che 



lo sarà o no la d(s). 



Analogamente, essendo g t (s) continua ( 2 ), la continuità di g(s) dipen- 

 derà da quella di 0(s); e le eventuali discontinuità di una di esse saranno 

 della stessa natura di quelle dell'altra. 



Ciò premesso, facciamo l'ipotesi che le p autofunzioni linearmente 



indipendenti di K(st), relative agli autovalori =t — L , appartengano alla 



«lasse <3P; e tra le soluzioni d(s) della (1) consideriamo quelle che sono 

 continue in (a , b), e quelle che sono puntualmente discontinue. 



Per quanto osservammo più sopra, le g(s) corrispondenti saranno fun- 

 zioni della stessa natura; quindi per il corollario del teorema a) (ved. n. 1), 

 il secondo membro della (4') sarà nullo in ogni punto di (a , b), se la g(s) 

 ivi è continua; sarà da eccettuarsi un numero finito di punti, se è puntual- 

 mente discontinua. 



6. Aggiungasi ora la condizione che la K(st) sia una funzione limitata; 

 e tra le a(s) si considerino quelle che sono limitate. Tali dovendo allora 

 essere anche le corrispondenti g(s), avremo, pel teorema /?) del n. 1, 



Y 



VY 



a 



verso il loro limite, il quale perciò sarà una funzione continua. 



E poiché, per ogni w si ha (cfr. la prima delle mie Note citate) 



y — } ,n 



sarà pure fjt(s) una funzione continua. 



