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E poiché dalla (6), mediante quadratura ed integrazione, s'ottiene 



avremo 



(7) ffo =-i = y 



cioè, qualunque sia 

 e quindi ( 2 ) 



e» ('); 



Quest' ultima eguaglianza ci dice che le soluzioni limitate 8(s) saranno 

 tutte nulle. 



Riassumendo : 



Se le auto funzioni linearmente indipendenti del nucleo simmetrico 

 K(st), relative agli autovalori =t — , sono funzioni della classe </>, le so- 



V r 



luzioni continue della (1) saranno tutte identicamente nulle in (a.b). 

 come pure quelle puntualmente discontinue, eccettuato per quest' ultime 

 uà numero finito di punti. Se poi K(st) è anche limitata, non solo sa- 

 ranno nulle tutte le soluzioni continue e puntualmente discontinue (colla 

 suddetta eccezione), ma lo saranno anche tutte quelle limitate. 



7. Non sarà infine del tutto inutile notare che, nel caso in cui si 

 sappia a priori che le soluzioni dell'equazione (1) che si considera deb- 

 bano essere tutte continue, oppure tutte limitate [se tale è anche la K(s^)], 

 potremo affermare, ricordando il teorema del n. 4, che 



se le costanti y n non sono tutte eguali tra loro, e le auto funzioni 



linearmente indipendenti di K(s/), relative agli autovalori zt— =, appar- 

 vi 



tengono alla classe <P, / equazione (1) sarà a funzione caratteristica chiusa. 



(') Nella seconda delle mie Note citate ho dimostrato che, se g(t) non è soluzione 



r o 



dell'equazione H(*£) h(t) dt = 0, sarà lim c n = y. Qui si vede subito che il cas» di 

 Ja 'i= 00 



eccezione non è verificato. Invero, se fosse K(st)g{t)dt = ì\m ^- 1 = 0, in grazia 



.Ja n=» y n 



dell' uguaglianza ^* *^ = '^* w (re .Sii), sarebbe ff s («) = 0; ed anche, per l'altra 



y y n 



V. = g{s)g 2 {s)ds , 



Vj=0. Si avrebbe quindi, per la (7), V = (la costante y non potendo essere mai 

 nulla); da cui seguirebbe g(s) = identicamente, contro il supposto. 

 ( a ) Cfr. la prima delle mie Note citate. 



