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Converrà però adoperare un linguaggio più semplice, per esporre rapi- 

 damente queste idee del Mengoìi. 



Dato il numero intero e positivo n, si considerino le due successioni 



2 ' 1 n — 1 ' 2 1 3 1 1 2>i — 1 ' 3 1 '• 3* — 1 ' 



2^3^ ^ n '3^4^ ^ 2n '4^ ^ 3w 



Il Mengoli chiama la prima successione di iperlog aritmi del numero n, 

 e la seconda successione di ipologaritmi del numero n . 



Chiama allora logaritmo di n V unica quantità maggiore di tutti gli 

 iperlogaritmi e minore di tutti gli ipologaritmi ('). 



m 



Se poi m , n sono interi e positivi ed m > n . se — è intero, si vede 



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subito che il logaritmo di — è compreso tra le due successioni 



- +.-Ì- + ...+-JL. A , i -i- - -i- — 1 — 



» ^ n 4- 1 ^ ~ m — 1 ' 2» ' 2n 4- 1 ~ ~ 2m — 1 ' 



(A) 



3tt 1 1 3w — 1 " " 



1 +-!-+•••+ 1 +•■■+ 1 



' « 4- 2 ' ~ w 2« + 1 ~ 2« 4- 2 ~ ' 



» 4- 1 1 n 4- 2 1 1 »? ' 2n 4- 1 1 2ra 4- 2 1 1 2m 



1 +•••+ è ■ 



da 4- 1 3wi 



(poiché queste successioni fanno parte di quelle che definiscono log — , ecc.). 

 Quindi si conclude facilmente ( 2 ) che 



tn 



log m — log n = log — . 



la quale è la proprietà fondamentale dei logaritmi ; e si vede pure che è 



naturale definire log — per mezzo delle successioni (A) nel caso in cui — 



n n 



non è intero. 



(') Porro logarithmus est Ma quantitas, ad quam tendunt hyperlogarithmi cum 

 sernper deinceps minuuntur, et ad quam tendunt hypologaritmi cum semper deinceps 

 augentur; nmni minor hyperlogarithmo, et omni maior hypologarithmo. Geometria spe- 

 ciosa, Introd., pag. 69 



( 2 ) Patel... quod compositae rationis logarithmus est aggregatus componentium loga- 

 rithmorum, ibid . , pag. 71. 



