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Da questa definizione di logaritmo di un numero razionale il Mengoli 

 trae immediatamente uno sviluppo in serie infinita ('), cioè: 



(B) log - = > y — - — > — ■ — ; 



« r— ( m rm + s — i rn Hr s ) 



quindi per esempio: 



-«r 2 = (i + 1 - 1) + (ì + è - ì) + (i+ ì - 1) + - - - 



^I=(^l+l-'-I)+(!+I+I-i-iH- 



La prima di queste due formolo non è altro, sotto forma leggermente di- 

 versa, che la forinola 



io g 2=i-i + ì-ì+- 



trovata poi dal Mercator per una via più diretta e più feconda, e riscoperta 

 più tardi del Bronncker con un metodo sostanzialmente non diverso da 

 quello del Mengoli. 



VII. Rimarebbe ancora da esporre sommariamente quali sforzi il Men- 

 goli abbia fatto nel suo Anno, per rendersi conto del cammino percorso 

 dal sole. Ma i suoi sforzi, per quanto sterili, e per quanto oramai inutili, 

 perchè Newton già da qualche anno aveva meditato e risolto problemi ben 

 più vasti, si prestano ad alcune considerazioni che spero di esporre in 

 un'altra occasione. 



(') Il Mengoli chiama prologaritmi del n. m e del numero n, rispettivamente le 

 due sommatorie finite che figurano a destra della formola (B), la quale è quindi enun- 

 ciata da lui così : 



Ordinetur summa excessuum primi prologarithmi supra primum, . . . et secundi 

 supra secundum, et tertii supera tertium, et sic deinceps in infinitum: omnium summa 

 excessuum, est logarithmus rationis quam habent numeri..., ibid., pag. 74. 



