e quest' ultimo problema dipende, come è noto, dall' integrazione dell' equa- 

 zione 



J l 6 = l. 



Ad ogni integrale 6 della (1) corrisponderà dunque una famiglia di 

 traiettorie del punto mobile, che saranno le linee ortogonali alla famiglia 

 6 = cost., e si otterranno integrando l' equazione 



(E — F — \du4-[F — — G — )dv = 0. 



\ iv luj \ Iv luì 



Se poi si conosce un integrale della (1) contenente una costante arbitraria a, 

 1' equazione 



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— = cost. 



~òa 



rappresenterà tutte le traiettorie che corrispondono al valore fissato per h . 



2. Ciò premesso, vogliamo vedere se esistono sulla superficie dei sistemi 

 ortogonali composti unicamente di traiettorie. La risposta a tale questione è 

 identica a quella che già ottenni nel caso del piano. Difatti se imaginiamo 

 riferita la superficie ad un sistema ortogonale isotermo (</>, tp), che dia al 

 quadrato dell' elemento lineare la forma 



ds 2 = X (d<p 2 + dip 2 ) , 



l' identico calcolo fatto nel piano conduce al risultato che condizione neces- 

 saria e sufficiente, affinchè le linee 6 = cost. insieme colle linee ortogonali 

 6 = cost. costituiscano un sistema di traiettorie del punto mobile, è che 

 6 verifichi simultaneamente le due equazioni 



(2) J,6 = 2 (U -h A) , J 2 6 = 0. 



Il sistema (6 , tì ) è allora isotermo. 



Le espressioni J x , J z 6 sono i parametri differenziali di Beltrami cal- 

 colati in coordinate (<jp , ip) ; per le proprietà ben note dei parametri diffe- 

 renziali sarà indifferente calcolarli con queste coordinate o colle primitive 

 (u , v) : quindi le condizioni (2) valgono in coordinate qualunque. 



La questione è così ridotta a trovare le condizioni affinchè le (2) am- 

 mettano soluzioni comuni. Ora ponendo 



X (U + h) = V , 



le (2) si scrivono 



ma questo sistema coincide precisamente, nella forma, col sistema (3) della 



