mia Nota citata, ed un calcolo identico a quello svolto colà mostra che le 

 condizioni domandate si riducono all'unica 



ossia, sostituendo per V la sua espressione precedente, e introducendo la 

 curvatura totale K della superficie, che è data da 



(4) 2K = — J 2 \gX, 



2Kh 2 + (4KU — J t U) h + (2K — J t lg U) U 2 = . 



Siccome U non deve dipendere da h , dovrà aversi, fintantoché h non è nulla, 

 K = , 4KU — J 2 \] = , 2K - J 2 lg U = , 



ossia 



K = , U = cost. 



Adunque : Salvo il caso che il movimento avvenga sopra una super- 

 ficie sviluppabile sotto l'azione di forze nulle, non è possibile comporre le 

 traiettorie in sistemi ortogonali (isotermi) se non a condizione che la 

 costante delle forze vive sia nulla; affinchè la cosa sia "possibile occorre 

 di più che la funzione potenziale verifichi V eguaglianza 



(5) J t lgU = 2K . 



Queste due condizioni sono anche sufficienti. 



Evidentemente la (5) si può intendere scritta in coordinate (u , v) qua- 

 lunque. 



3. Si può osservare che si perviene alla (3) anche per un'altra via. 

 Come si è già ricordato, le traiettorie della superficie data corrispondono alle 

 geodetiche di un' altra superficie di elemento lineare 



ds' 2 = 2 (U + h) ds 2 : 



la questione adunque di vedere se sulla prima superficie le traiettorie si 

 possano distribuire in sistemi ortogonali, equivale a quella di riconoscere se 

 sulla seconda si possano formare dei sistemi ortogonali colle geodetiche. Sup- 

 posto che ciò sia possibile, e riferita la superficie ad un tale sistema orto- 

 gonale, la formola di Liouville (') 



H \1)U !>v ~òu £ ~Ì)V Qi / 

 che esprime la curvatura totale per l' angolo u> delle linee coordinate e le 



(') V. Bianchi, Lez. di geom. diff., pag. 147. 



