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curvature geodetiche - , — delle linee stesse, mostra senz' altro che la super- 

 Q Qi 



ficie è a curvatura nulla. La condizione che si cercava per le traiettorie della, 

 data superficie si esprimerà dunque scrivendo che è nulla la curvatura della 

 forma 



ds' 2 = 2 (U + h) ds* ; 

 e se prendiamo per semplicità 



dà 2 = l (dy 2 + d^) , 



troviamo come condizione 



7>»lgA(U + h) 7>»lg/(U+ft) 



che è appunto la (3). 



4. Facendo, nella (5), K = si ricade nell' equazione che s' era trovata 

 studiando il movimento di un punto nel piano ('). Del resto anche nel caso 

 che la superficie sia qualunque, si può sempre ritenere che U dipenda da 

 un'equazione della forma (5) col secondo membro nullo; difatti le (2) dicono 

 che per avere U basta integrare 1' equazione = , dopo di che la U si 

 ottiene dalla J x 6 = 2U senza ulteriori quadrature. 



Prima di passare alla effettiva ricerca delle traiettorie nei movimenti 

 che andiamo esaminando, notiamo ancora una proprietà che emerge dall' equa- 

 zione (5) cui deve soddisfare la U . Riferendoci ad un sistema isotermo (q> , xp), 

 la (5) si può scrivere, in causa della (4): 



J t lg U + J 2 lg / = . 



Ora questa equazione è simmetrica rispetto a 1 e U, e quindi si ha il seguente 

 notevole teorema di permutabilità: 



Se sopra una superficie di elemento lineare 



ds 2 = X {d(f 2 + d^ 2 ) 



avviene un movimento della natura che consideriamo sotto l'azione di 

 forze di potenziale U, si avrà un movimento analogo sopra una superficie 

 di elemento lineare 



da 2 = U {d<p 2 -f dijj 2 ) 



sotto l'azione di forze potenziale l. Le traiettorie sia dell' una che dell' al- 

 tra superficie corrispondono alle geodetiche di una stessa superficie il cui 

 elemento lineare è dato da 



ds' 2 = 2AU (d<f 2 +'dip 2 ) . 



5. Vediamo ora come si ottengono le traiettorie quando, essendo nulla 

 la costante delle forze vive, la funzione potenziale soddisfa alla condizione 



(') La formola (7) della mia Nota citata. 



