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ed infine dalle (7') abbiamo 



(10) 



— = ~^1 2GU [H sen (a + P) + P cos (a + P)1 



1)U G 



— = =t -f/2GUcos (a + P) , 



dalle quali otteniamo con una quadratura. 



Si può dare a queste equazioni un' altra forma introducendo 1' angolo co 

 delle linee coordinate. Si ha infatti 



F H 



cos co = ; — , sen co 



l/EG ' |/EG' 

 onde 



H sen (a + P) + F cos (a +P) = j/EGcos (a + P — a»). 

 Le (10) diventano quindi 



(10') — = =tj/2EUcos(« + P — co) , — = ±|/2GUcos(a + P) . 



Il confronto di queste formole e dell' espressione di P colle analoghe 

 che si son trovate nel piano mostra che queste rientrano in quelle generali 

 ora ottenute. 



6. I sistemi ortogonali isotermi di cui trattiamo, costituiti di sole tra- 

 iettorie del punto, si avranno dunque, come si sa, associando all' equazione 



(u , t> , a) = cost. (con a fissa una qualunque) 1' altra — = cost. ( 1 ). Fa- 



cendo poi percorrere ad a tutti i valori, quest' ultima equazione rappresenta 

 tutte le traiettorie del punto. 



Ma anche qui vi sarà da fare la stessa osservazione che già si fece nel 

 caso del piano, che, cioè, anche l' altra equazione 6 (u , v ,a) = cost. deve 

 rappresentare le traiettorie (-)• La cosa si verifica senz' altro sulle nostre 



~ò@ 



equazioni; poiché se scriviamo distesamente le equazioni 8 cost., — =cost., 



~òGL 



otteniamo, per le (10') : 



J\ j/EU cos (a + P — co) du + /GU cos (a + P) dv \—'b 

 S\ j/EQ sen (a' + P — co) du + j/GÌJ sen (a' + P) dv \ = b\ 



(') L'ortogonalità dei sistemi 8 = cost., — = cost. risulta subito direttamente osser- 

 vando che la derivazione, rispetto ad a, dell'equazione JiO = 2U a cui soddisfa 0, con- 

 e,— j = 0, dove F indica il parametro differenziale misto di Bel- 



trami; e questa relazione esprime appunto l'ortogonalità dei due sistemi considerati. 

 ( 2 j Nota citata, n. 5. 



