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lato hanno stretto rapporto con le teorìe della integrazione definita impropria 

 e delle serie di funzioni. 



Non parrà quindi inutile che io brevemente le esponga; ciò che spero 

 di poter fare con questa Nota e con alcune che la seguiranno fra breve. 



In questa svolgerò alcune considerazioni sulla determinazione della 

 estensione esterna (aiissern Inhalt) di un insieme lineare situato in un inter- 

 vallo di ampiezza infinita. 



Non credo sia stato osservato che non si giunge sempre allo stesso nu- 

 mero, quando si definisce la estensione esterna di un insieme 3 situato nel- 

 l' intorno (x , . . . -\- oo) come il limite, per x = oc , della estensione di 

 quella parte di 3 che è situata nell' intervallo (x ,. .. x) , quando diretta- 

 mente si cerchi il limite inferiore delle somme delle lunghezze dei segmenti 

 che contengono punti punti limiti di 3. Quest' ultimo limite può essere 

 infinito, ed essere finito nullo il primo: ed è il primo appunto che prin- 

 cipalmente giova considerare. 



Nemmeno credo sieno ancora state cercate le relazioni fra le estensioni 

 esterne di due insiemi che si ottengono 1' uno dall'altro, quando si eseguisce 

 una trasformazione biunivoca, ordinata, continua della variabile reale x 

 nella variabile reale y = f(x), e si immagina che nell' intorno (x , . . . -f- 00) 

 sia situato un insieme di punti di determinata estensione. 



Di questi argomenti intendo occuparmi, indugiando sovra di essi solo 

 quel tanto che mi sarà necessario per le applicazioni che dovrò farne nelle 

 Note seguenti. 



1. Nel segmento finito (x ,...x) sia situato l'insieme 3 di punti [£] 

 e si consideri una successione Ti , T 2 , T 3 , . . . di scomposizioni del segmento 

 (x ,...x) fatte in guisa che ogni nuova scomposizione suddivida alcune 

 tutte le parti prima esistenti e che, ad ogni numero positivo possa farsi 

 corrispondere un indice m tale che, dalla operazione T m in poi, tutti i trat- 

 ticelli in cui (x , • . • x) è scomposto, abbiano lunghezza minore di d. Dopo 

 ogni scomposizione si sommino le lunghezze di quei tratticelli che conten- 

 gono punti punti limiti di 3. Indicando coteste somme con Si , s 2 , s 3 , . . . 

 si avrà s„>-0, s n = s M +i (n =é 1 , 2, 3 — ) e perciò esisterà il limite 

 L = lim s n , e si avranno le relazioni s n = L , L =: 0. 



n=co 



Il numero L rappresenta la estensione esterna dell' insieme 3 (')» di- 

 remo anche, con lo Stolz ( 2 ) che compete all'insieme 3, e diremo discreti 

 quegli insiemi a cui compete un numero L = . 



Il numero L è indipendente dal modo con cui le scomposizioni T„ si 

 operano. 



(!) Cfr. Peano, Applicazioni geometriche del Calcolo, pag. 152. Per la bibliografia 

 si rimanda all'articolo sugli insiemi che è nell'Enciclopedia. 



( 2 ) Math. Annalen, XXIII, pag. 154. Cfr. anche Harnack, Mat. Ann. XIX, pag. 238. 



