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Se un segmento (x , ■•■ x) finito si scompone in un numero finito 

 di parti, la estensione esterna di un insieme 3 situato in (x , • • • x) è 

 eguale alla somma delle estensioni delle parti di 3 situate nei singoli 

 tratti in cui (x , • • • x) fu diviso, ed, in particolare, non è minore della 

 estensione di una qualunque sua parte. 



Se in un segmento finito (x ,...x) è situato un insieme discreto 3, 

 ad ogni numero positivo « si può far corrispondere un numero positivo à 

 tale che, scomponendo il segmento (x x) in tratti tutti minori, in 

 lunghezza, di ó, la somma delle lunghezze dei tratti che contengono punti 



punti limiti di 3, sia minore di s. 



La somma di un numero finito di insiemi discreti situati in uno 

 stesso segmento è ancora un insieme discreto. 



Se, scomponendo il segmento (x , . . . x) in un numero finito di parti, 



1 punti dell' insieme 3 contenuti in ciascuna di quelle parti costituiscono 

 altrettanti insiemi discreti, anche l'insieme 3 è discreto. 



Indicando con K l' insieme di tutti i punti che rimangono nell' intervallo 

 (x , ... x) dopo che se ne è sottratto un insieme discreto, si vede agevol- 

 mente che : L'insieme K è denso in tutti i punti del segmento (x , • ■. x). 



2. Consideriamo ora un insieme 3 di punti [£] situati in un intorno 

 (# , . . . oo). 



Sia data una successione x , %\ , x 2 . . . . che tende all' infinito sempre 

 crescendo, cosicché si sappia che nessuno dei segmenti (x n , ... x n + x ) ha 

 lunghezza nulla. Indichiamo con L n la estensione esterna della parte di S 

 che è contenuta nel segmento (x n , ■■ • x n +\). 



Se la serie 



re 



(1) £l„ = l + l 1 + l 2 + --- 







converge verso la somma L . diremo che questo numero L compete all'in- 

 sieme 3 , dato nell'intorno (x , ... oo). 



3. Per giustificare questa definizione dimostreremo che il numero L 

 non dipende dalla scelta della successione x n . 



Sia infatti y = x , yi, y°, una successione che tende all' infinito 



sempre crescendo. Indichiamo con L'„ la estensione esterna della parte di 3 

 contenuta nel segmento (y n , ... y n +\). 



Voglio provare anzitutto che la serie 



(2) jL' n = L; + L; + L; + --- 







è convergente, se è convergente la (1). 



Preso un numero positivo <r, a piacere, e determinato l' indice n per 

 modo che il resto K„ = L n+l -f- L M+2 -f- •• • della serie convergente 2L n , 



Rendiconti. 1902, Voi. XI, 2° Sem. 7 



