— 48 — 



sia miDore di e, si cerchi poi, nella successione y n , il primo dei termini 

 che non è minore di a> n +i- 



Posto che questo termine sia y m+x , dico che la somma di un numero 

 qualunque r di termini, a partire dall' m -J- l esirao , nella serie (2) è essa 

 pure minore di cr. 



Scriviamo la somma : l' m , r = L' m+1 -f- L' m+2 ~h ■ ■ ' -4- li'm+r , ed al nu- 

 mero r fissato, facciamone corrispondere uno r x abbastanza grande perchè 

 y m + r non sia maggiore di x n +r t • L' intervallo (y m +i , • • • ym+r) sarà allora 

 tutto contenuto nell' intervallo (x n +i , • • • x n + r ), e la estensione esterna della 

 parte di E situata nel primo intervallo, non sarà maggiore di quella rela- 

 tiva alla parte di esso contenuta nel secondo, cioè avremo: 



%m,r — "f- L„+ 2 ~h ' " ' ~f* L«+r, = C C. d. d. 



È facile ora vedere che : anche le somme di quelle due serie sono 

 eguali. 



Indichiamo con S„ = Li -\- L 2 -f- • • ■ -f- L„ , la somma degli n primi 

 termini delle serie (1), e con S r TO = L[ -j- L' 2 + L' m , la somma degli m 

 primi termini della (2). 



Ad ogni numero n potremo farne corrispondere un altro m abbastanza 

 grande perchè sia x n = y m , ed al tendere all' infinito di n , anche m diven- 

 terà infinito. Si ha però S n = S' m , ed anche perciò : 



/q\ L = lim S„ = L' = lim S' m . 



\&) n—co m=co 



D'altra parte, ad ogni m fissato, può farsi corrispondere un n x tale che 

 sia x ni = y m , epperò anclie S n , = S' m ; da cui 



(4) L^L\ 



Dalle (3) e (4) si ricava appunto L = L'. c. d. d. 



4. Il numero L che compete all' insieme E situato in un intervallo infi- 

 nito {xo , • . . -j- co), e che abbiamo ora dimostrato potersi determinare in 

 modo unico, risulta con legge aritmetica dai limiti L n supposti già calcolati. 



La somma S n = L + L^^ -\- L n , può ottenersi, però, anche ope- 

 rando al modo seguente: 



Si scomponga ciascuno degli intervalli (x n ,...Xi), (x x , . . . x 2 ) 

 {Xni- --Xn+i) in parti di lunghezza non maggiore di un determinato numero 

 si indichi con L,^) la somma delle lunghezze dei tratti che contengono 

 punti, o punti limiti di H, e sono contenuti nel segmento (x r , . . . x r +\) , 

 (r = 0, 1, 2 ... n), si faccia la somma 



S„(tf) = L (ó) + L^à) + • • • + L n (ó) , 



