e se ne cerchi il limite per ó — : si avrà appunto 

 / k \ S„ = lim S„(<J) . 



(5) 5=0 



Ora, benché si sappia che tutti i limiti (5) esistono finiti e determi- 

 nati, e che esiste, pure finito e determinato il limite 



. lim S„ = L , 



\y) m=oo 



non si può asserire che, per valori di d abbastanza piccoli, esista anche 

 il limite: 



n , lim S n (<T) = L((f), 



\> ) w=oo 



00 



cioè che converga la serie ^_L n (ó), e non si pub, in generale, dedurre: 







, R v L = lim | lim 8 n (ó) \ = lim j lim 8 n (à)\ . 



\Oy «=00 5=0 S=0 51=00 



00 



Ciò accadrà solo quando la serie Y L B (d), convergente, come ab- 







Marno supposto, per ó= , converga uniformemente a tratti in un intorno 

 determinato di questo punto ( 1 ). 



Quando tale condizione sia soddisfatta, il numero L che compete al- 

 l'insieme 3, coincide con la sua estensione esterna. 



5. 11 teorema dato al numero 3, e le proprietà fondamentali dei nu- 

 meri S n che competono ad insiemi situati in segmenti finiti, permettono di 

 enunciare anche il metodo seguente per la determinazione del numero L che 

 compete all' insieme S situato nell' intorno (# , ... co) : 



Fissato un numero positivo 3 , si scomponga il segmento (x , . . . x) 

 in farti tutte minori di ó, si faccia la somma S(x , ó) delle lunghezze 

 di quelle parti che contengono punti, o punti limiti di S, si calcoli il 

 limite : 



, Q v lim \ lim S(a? , à) \ = L . 



\") X=CO 5=0 



Se ha luogo la convergenza uniforme di cui s' è fatto parola al numero 

 precedente, è indifferente l'ordine secondo cui si eseguiscono le due opera- 

 zioni di passaggio al limite, e si ha anche 



n n x L = lim j lim S(# , <?) j 



^-*-"/ S=0 31=00 



(') Cfr. Arzelà, Sulle serie di Funzioni (Mem. R. Acc. delle Se. di Bologna, a. 1899, 

 pag. 153). 



