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ma se quella convergenza uniforme manca, e v' è solo la convergenza ordi- 

 naria per ó = , si dovrà esclusivamente far uso delle (9). 



00 



6. Se la serie L n diverge, non esiste, o se si vuole, è infinito il 







numero L che compete all'insieme 8, diverge a maggior ragione anche ogni 

 serie 2L(S) e si ha: 



1 lim j lim S(x , ó) | = lim ) lim S(x , ó) j = oo . 



7. Perchè sia possibile la determinazione del numero (finito) L che 

 compete ad un insieme 3, situato nell'intorno (x , . . . oo) , occorre e basta 

 che ad ogni numero positivo e se ne possa far corrispondere un altro sc z 

 abbastanza grande, perchè i punti ed i punti limiti di 3 situati nel 

 segmento (x t , ...%), qualunque sia x~^> x v, possano essere rinchiusi in 

 un insieme di tratti la cui lunghezza totale non superi s. 



Perchè oltre a ciò, l'insieme 3 abbia estensione esterna finita J occorra 

 e basta,, che, la condizione superiormente enunciata, possa esser soddisfatta 

 col dividere il segmento (# s , ■-. . . x) in tratti tutti minori, in lunghezza, 

 di un numero positivo à, indipendente da x. 



8. In particolare per la esistenza del numero (finito) L , è condizione 

 necessaria, che ad ogni coppia di numeri positivi £, M, se ne possa far 

 corrispondere un terzo x t , n abbastanza grande, perchè la estensione esterna 

 della parte di 3 contenuta nel segmento (x , . . . , x -f- M) , OC :~ ùCzm TlOìt 

 sia maggiore di e. 



9. E importante, per quel che segue, notare che se un insieme 3 sod- 



S 



disfa cotesta condizione, il rapporto - — della estensione esterna della 



parte di 3 situata nel segmento (x , • • • x n ) alla lunghezza del segmento 

 stesso, tende allo zero quando x n tende alt infinito. Ed infatti, poiché è 

 indifferente la scelta della successione x n , prendo -\-n~M.. Per le 



ipotesi poste posso scrivere (') 



lim S n lim a» — S M _i s 



»=oo „ v »=oc „, „ ^ "VT 



S 



s , M , sono positivi qualunque, dunque è lim iL — = . 



«,=00 OCy\ vCq 



10. Gli insiemi che soddisfano la condizione enunciata al n. 9 (in par- 

 ticolare quindi, anche quelli che soddisfano quella del n. 8) hanno, nelle 

 ricerche che dovrò fare nelle Note seguenti, importanza specialissima. 



(') Cfr. Cesàro, Analisi Algebrica, pag. 98. 



