I punti dell' intorno (x , . . . oo) sono posti, mediante la (12) in corrispon- 

 denza biunivoca, ordinata, continua, con quelli dell'intorno (y —f(a ) ,..*-(- oo). 



Ad un insieme di punti [£] situati nell' intorno (,c ,...-}- oo) corrispon- 

 derà un insieme di punti [rf] situati nell' intorno (y , . . . -f~ oo) e recipro- 

 camente. 



A punti contenuti nel segmento (xi , . . . xf) , corrisponderanno punti 

 situati nel segmento (y x — f{xf) , . . . y 2 = f{Xi))', quando la lunghezza 

 dell' intervallo (x v , . . . x 2 ) si faccia tendere allo zero, così succederà di 

 quella dell' intervallo (j/i , . . . y 2 ) e reciprocamente. 



Pel noto teorema di Cantor, sulla continuità uniforme, potremo inoltre 

 fissare un numero à e abbastanza piccolo, perchè, ad ogni intervallo (x l , . . .x 2 ) 

 contenuto in (x , • . • oo) ed avente lunghezza non maggiore di J £ , corrisponda 

 un intervallo {y x , . . . y 2 ) di lunghezza minore del numero positivo s . 



Notiamo ancora che se si ha una successione x n di punti x tendenti 

 all'infinito sempre crescendo, si avrà corrispondentemente una successione 

 di numeri y n sempre crescenti, tendenti all' infinito. 



19. Le considerazioni fatte, ed i risultamenti ottenuti al n. 7 ci per- 

 mettono di concludere che : Se ad un insieme di punti [£] situati nell'in- 

 torno (x , • • • + oo) , compete un numero finito L , anche al corrispondente 

 insieme [rf] compete un numero finito L', e reciprocamente. Se è L = , 

 anche L' = 0, cioè ad insiemi discreti corrispondono insiemi discreti. 



20. Poniamo ora che nell' intorno (x , •■■-(- oo) sia situato un insieme 



S 2 (§) tale che il rapporto ~~ della, estensione esterna della parte di 



esso contenuta nel segmento (x , • • • x) alla lunghezza del segmento stesso, 

 sia infinitesima per x = oo . 



L' estensione esterna della parte dell' insieme contenuta nel corri- 

 spondente segmento (y , . . . y{x)) sarà espressa da S(f(x)), e, poiché al 

 tendere di x all' infinito, anche f(x) tende all' infinito, e reciprocamente, 

 avremo : 



lim %) _ Q 



y-y 



e l' insieme [rf] sarà a sua volta un insieme 3% • 



Dunque, ad insiemi 3 2 dell' intorno (sc , . . . oo) , corrispondono pure 

 insiemi 3 2 dell' intorno (?/ , . . . oo) , e così ad insiemi K 2 corrispondono in- 

 siemi K 2 , e reciprocamente. 



