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Matematica. — Sugli spasi a quattro dimensioni che am- 

 mettono un gruppo continuo di movimenti. Nota di Guido Fubini, 

 presentata dal Socio L. Bianchi. 



Questa Nota riassume una parte dei risultati di una Memoria di pros- 

 sima pubblicazione, che fa seguito a un'altra (') sulla teoria generale degli 

 spazi a un numero qualsiasi di dimensioni che ammettono un gruppo con- 

 tinuo di movimenti e sulla loro determinazione. 



In questa io ho dato il metodo generale che serve a trovare per qua- 

 drature tutti questi spazi : metodo che permette di ritrovare rapidamente gli 

 spazi a tre dimensioni, già determinati dal prof. Bianchi, che ammettono un 

 gruppo di movimenti. Non è però più così quando si passa a un numero 

 maggiore di dimensioni : i calcoli infatti a tale scopo che la Memoria citata 

 indica da eseguire risultano troppo lunghi per potere essere eft'ettivamente 

 eseguiti. In questa Nota io indicherò sommariamente come si debba proce- 

 dere per gli spazi a quattro dimensioni. Si comincia, secondo il metodo ge- 

 nerale, a trovare prima i gruppi di movimenti per poi dedurne gli spazi re- 

 lativi; e anzitutto si cerca di avere « a priori » qualche proprietà generale 

 di questi gruppi. Si escludono dalla ricerca come casi senza interesse i gruppi 

 con meno di quattro trasformazioni linearmente indipendenti, che (com'è del 

 resto evidente) i miei teoremi generali dimostrano potersi già considerare 

 come gruppi di movimenti di uno spazio a meno di quattro dimensioni e 

 che quindi sono gruppi riducibili ai casi già studiati dal prof. Bianchi ( 2 ). 



Così pure è inutile trattare i gruppi transitivi a quattro parametri (che 

 del resto ho già studiato nella Memoria citata), perchè noi sappiamo già da 

 teoremi generali che essi si possono considerare sempre come gruppi di mo- 

 vimenti. Possiamo pure prescindere dai gruppi a 10 parametri, che corri- 

 spondono agli S 4 a curvatura costante. 



Ciò può già servire a circoscrivere di molto la ricerca. 



Ma i due teoremi fondamentali che servono a trovare tutti gli altri 

 gruppi sono i seguenti: 



I. Non esiste alcun gruppo G 9 ( 3 ) che si possa considerare come grappo 

 di movimenti di un S 4 ( 4 ). 



(') Quest'ultima Memoria si sta ora pubblicando negli Annali di Matematica. 



( 2 ) Bianchi, Sugli spasi a tre dimensioni ecc. Memorie della Società Italiana delle 

 Scienze (serie III, tomo 11, pag. 27). Cfr. anche la mia Meni, citata. 



( 3 ) Con G r indico un gruppo a r parametri. 



( 4 ) Per vedere bene il significato di questo teorema, cfr. la mia Mem. citata (§ 8). 



