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II. Se un gruppo G> (r = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) si può considerare come 

 gruppo di movimenti di uno spazio a quattro dimensioni, esso contiene cer- 

 tamente un sottogruppo G r _i . 



Questi due teoremi si possono stabilire « a priori » ; e la loro conoscenza 

 dà poi una grande rapidità alla ricerca. Noi sappiamo da essi che basterà re- 

 stringerci allo studio di quei gruppi a 5, 6, 7, 8 parametri su quattro va- 

 riabili, che ammettono rispettivamente qualche sottogruppo a 4, 5, 6, 7 pa- 

 rametri. Questo teorema si può poi generalizzare anche nel caso di spazi a 

 più che quattro dimensioni e ci darà sempre l'ordine di qualche sottogruppo 

 contenuto nei gruppi da determinare. 



Nel caso particolare di spazi a quattro dimensioni la ricerca si presenta 

 con questo metodo abbastanza semplice, e può servire come esempio del me- 

 todo da seguire negli altri casi. Siccome ogni G r del nostro tipo contiene 

 come sottogruppo un G r _ x , che naturalmente si potrà anch'esso considerare 

 come gruppo di movimenti (totale o parziale) di uno spazio a quattro dimen- 

 sioni, noi dovremo dapprima ricercare tutte le composizioni dei gruppi a 5 

 parametri, che contengono un sottogruppo a 4 parametri che si possa consi- 

 derare come gruppo di movimenti di uno spazio a 4 dimensioni, cioè che 

 appartenga a uno dei tipi di G 4 già determinati dal prof. Bianchi, o che 

 sia transitivo. 



La ricerca si semplifica molto trascurando quelli di questi gruppi che 

 contengono un sottogruppo G 4 a trasformazioni permutabili, perchè gli S 4 

 che ammettono un tale gruppo G 4 di movimenti sono a curvatura nulla (•). 



Dalla composizione di uno di questi G 5 si passa facilmente alla forma 

 esplicita delle sue trasformazioni infinitesime, perchè noi conosciamo già le 

 trasformazioni infinitesime di un suo sottogruppo G 4 ; e noi possiamo senz'altro 

 trascurare ( 2 ) quelli che avessero due trasformazioni infinitesime dipendenti. 

 Di più noi possiamo prima trovare quei G 5 che contengono un sottogruppo G 4 

 transitivo, ma che non contengono inoltre un G 4 intransitivo, e determinare poi 

 separatamente quei G 5 che contengono un sottogruppo G 4 intransitivo che si 

 possa considerare come gruppo di movimenti. Con questi e altri mezzi la 

 ricerca si semplifica assai. Valendoci poi dei criteri generali dati nella mia 

 Memoria citata, si esamina quali dei G 5 così ottenuti è un gruppo di movi- 

 menti. 



Con metodo analogo si trovano i G che contengono uno di questi G 5 

 come sottogruppo e che si possono ancora considerare essi stessi come gruppo 

 di movimenti e così via. I risultati che si ottengono sono i seguenti: 



« Nessun gruppo a 8 parametri si può considerare come gruppo di 

 movimenti di uno spazio a 4 dimensioni ». 



(') Bianchi, loc. cit. 

 ( 2 ) Bianchi, loc. cit. 



