Uno spazio a n dimensioni non può ammettere alcun gruppo di ino- 

 ri (n + 1) ' n (n -f 1) 

 vimenh a « ^ 1 » o a « — 2 » parametri. 



Oltre ai gruppi già citati, vi sono soltanto i seguenti spasi a quattro 

 dimensioni, che ammettono un gruppo continuo di movimenti: 



I . ds 2 = dx\ + 7^— e~ iXi dx\ + p 22 e~ 2x * dxl — 2l 3 p 22 e~ 2Xi dx\ dx 2 — 



4 Hi 



— 2l 3 p 22 X\ e- 2oc * dxi dx 3 -j- 2x x p 22 e~ 2x * dx 2 dx 3 -f- (x*p 22 e~ 2x * — W] p 22 e ìx *) dx 

 che ammette il gruppo generato dalle: 



^;±;-± + *.±;- 2 sì( l , x ;+x,)^ + x ìJL 



~òX 2 ~òX 3 ~i)X\ 1)X 2 "òX\ vX 2 ~Ì)X 3 ~ì}Xi 



(xì + n, ~ + (l 3 x\ + k >h e^) ~ + (x 2 - h ^) ~ -f x t ~ 



ÙX i ()t£ 2 |)<Z"3 dXi 



dove la l 3 , la n x , e la ^ 22 sono costanti. 



II. ds 2 = efo?4 + e 2 ** + 2^ l2 e Xi dx\ dx 2 -f- 2;j 13 e 00 * dx l dx 3 -f- 



-fjo 22 <£a?i + 2jo 23 eta^ ^3 + ^33 dxl 



che ammette il gruppo generato dalle 



— (i = 1 , 2 , 3) ; x } — — ; (x\ — 7r u <r 2 ^) — — 2tt 12 ^ — — 



T)*^ 7)c^i ~òXn. ~òX\ ~òx 2 



-2Ti ì3 e-*^ — 2x l ~ 



òX 3 0X4 



dove le p^ sono costanti, e le rr ik sono i complementi algebrici di p ik in 

 \pnt\ divisi per il determinante 



III. ds 2 = tte 2 + e 2> -^ ^ /t e 4 ^ ^| + 2/^ e 4Xa ' 4 dx 2 dx 3 + 



+ (/t x\ e ikx * + 6 2)a '0 



dove X , jit sono costanti, che ammette il gruppo 



! ! Xx\ ~ \- 2 Xx 2 ~ -\- Xx 3 j — 



uX 2 ~òX 3 oX\ dX 2 1)X 3 IX4 lXi 



11) 1 



/y» • /vi /y» 



1^3 — )i*3, <*I 



*.X 2 oX\ 0X 3 



IV. Gli elementi lineari (dove con X ,n ,1 indichiamo delle costanti), 



ds 2 = dx\-\-(f dx] + xp dx\ + e 2 *> [(1 — ;* 2 ) y + V « 2 ] ^2 + 2n ip e x > dx 2 dx 3 

 dove è rispettivamente </> = cost. , j/ / = cost. oppure y>=rcost. , t/> = cost. e 2Xx i 

 Rendiconti. 1902, Voi. XI, 2° Sera. 8 



