In effetti adoperando le suindicate formole di trasformazione si ha 



V V (t„ „w j.. r u, J>yr d]h 



i <} ,s ,p ,q 



e osservando al solito che 



*7~ ~ò%ì ~ùyp 



è uguale a zero o ad 1, secondochè gli indici r,p sono diversi od uguali, 



e che lo stesso si ha per il V , si ricava che i termini non zero del pre- 



j 



cedente sommatorio sestuplo sono solo quelli in cui p — r, q = s, e quindi 

 resta 



a = ZZ ((*•*))' rfyrty., 



il che mostra la invariantività di A. 



È utile ricordare che i covarianti quadratici A o B hanno un altro in- 

 timo legame con la data espressione ai differenziali secondi, e tal legame 

 è quello espresso dalla forinola, già trovata nella Memoria negli Annali di 

 Matematica : 



(4) U = (/V — k = dY — Ib, 



u 



in cui è 



(5) V = Y Xi don , 



i 



e si può osservare che anche V è una forma pfaffiana covariante in rap- 

 porto ad U. 



Un fatto importante ad osservare è che il simbolo \i j k\ introdotto 

 nei precedenti lavori nei quali esso ha avuto un posto notevole, considerato 

 invece in rapporto alla forma differenziale quadratica B J si identifica col 

 noto simbolo a tre indici di pi ima specie di Christoffel, come risulta im- 

 mediatamente dall' ultima delle relazioni (3). 



Esso è così, considerato in rapporto alla espressione ai differenziali se- 

 condi U, una estensione del simbolo di Christoffel, e diventerebbe eguale 

 a questo (moltiplicato per — 2) quando la U diventasse una ordinaria forma 

 differenziale quadratica, cioè fossero zero i coefficienti X ft . 



Da questa osservazione semplicissima risulta che tutta la teoria dei 

 simboli di Christoffel e delle relazioni fra essi esistenti, resta estesa 

 senz' altro al caso in cui si assume per forma fondamentale la U. Così 

 p. es. ricordando la nota forinola (') esistente fra i simboli a tre indici di 



(') Vedi p. es. Bianchi, Geometria differenziale, 2* ediz., voi. I, pag. 66. 



