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come anche quella ottenuta da questa colla soppressione della prima co- 

 lonna, hanno caratteristiche invarianti per qualunque trasformazione di 

 variabili. 



In simile modo si può intendere anche estesa la costruzione dei para- 

 metri differenziali costruendo quelli in rapporto alla forma B, e conside- 

 randoli come parametri differenziali relativi alla espressione ai differenziali 

 secondi U. 



3. Immaginiamo ora una trasformazione infinitesimale 



(8) ^1^. 



Poiché le formolo di trasformazione per le ? ft sono evidentemente iden- 

 tiche a quelle per i differenziali dx k , dalla invariantivilà di A , B , risulta 

 immediatamente quella delle seguenti forme pfaffiane: 



(9) C = y {(ij)) h dxj , D = y ((ij)) & dxj , E = X M h dxj = C -f D 



ij ij ij 



e similmente delle seguenti formazioni: 



(10) G-Z ((«;))&& , Hr=ZivUi^, 



ij ij 



Poiché le parentesi (i j) si trasformano colle stesse forinole che le ((i j)), 

 \i j[, alle forme pfaffiane (9) potrebbe anche aggiungersi la 



(11) F = y (ij) h dxj = C — D 



ij 



la quale interviene già nella teoria delle ordinarie forme pfaffiane, quando 

 si studia il risultato dell' applicazione di una trasformazione infinitesima ad 

 una forma di primo ordine, e che è un covariante simultaneo di V, e 3, 

 mentre V, a sua volta, è un covariante di U. 



Un importante covariante di second' ordine della forma U , è il se- 

 guente, il quale si presenta, come vedremo in seguito, nello studio dell'appli- 

 cazione della trasformazione infinitesima S ad U, facendo lo stesso ufficio 

 che la P fa in rapporto a V: 



(12) L = Zj^Z M & ] d 2 x }i + X Z [Z Wr\ £~] dx x dxj . 



