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Trasformando infatti questa espressione nelle y, si ottiene: 



p,q,r,sjc J%h oX r ( )y s |_ /, òyn h t Oljh ìyt _J 

 i,j,r.,h,t | 7)#V ~òXi ~t)Xj D2/s ~ùXj ^òXy | 



Ora si ha identicamente 



(13) y^a_2^r_Q 5 se q è diverso da s 



r l)X r ~òy$ 



= 1 , se ^ è uguale a s 



donde si ricava, colla derivazione, un' altra forinola identica, la quale, scritta 

 con opportuno scambio di indici, è la seguente: 



V ]Hp , y y y-y P 'ÌXilMi _ 



k ìx h ~ìyn tyt ~T j ~èXi 7>Xj ìy h ~ì>y t 



Con ciò si vede che la somma del secondo e terzo termine della pre- 

 cedente espressione è identicamente zero, ed applicando poi ripetutamente 

 la (13) agli altri termini, si riconosce infine la invariantivilà di L. 



Di qui può ricavarsi una serie di altri risultati; così p. es. immagi- 

 nando una espressione alle derivate parziali di primo e second' ordine 



k ^x h i j ìXi ìyj 

 e formando l' invariante simultaneo di L e di &', 



òljh o>Jt 



N = H)^i ìr r* + ZZ Z Vì A Srì'ij 



k r > j i- 



si ha un nuovo invariante relativo alla forma U fondamentale e che ha 

 evidentemente come caso particolare l' invariante H. 



Inoltre formando i simboli di Christoffel estesi, relativi alla forma L, 

 si può con questi costruire delle nuove matrici di cui le caratteristiche sono 

 invarianti ; si può poi costruire il covariante quadratico di L, i suoi para- 

 metri differenziali, ecc., e si ha così una serie di formazioni che sono inva- 

 rianti rispetto al sistema della forma U fondamentale e di una trasforma- 

 zione infinitesima. 



