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Matematica. — Alcuni teoremi che possono tener luogo di 

 quello della inedia, per funzioni le cui derivate non sono atte 

 alla integrazione definita. Nota del prof. Ettore Bortolotti, 

 presentata dal Socio L. Bianchi. 



In questa Nota mi propongo di determinare delle condizioni sufficienti 

 per la validità della formula 



((p , xp funzioni integrabili nell' intervallo (x , . . . se)), nei casi in cui non è 

 noto se la f'(x) sia integrabile nell' intervallo (x , . . . x), ma si sa che, fatta 

 tutto al più eccezione dai punti di un insieme discreto, è ivi soddisfatta 

 l' una o l'altra (o 1' una e l'altra) delle condizioni : 



Benché le osservazioni del Dini ed i noti esempì del Volterra e del 

 Kopcke relativi a funzioni che hanno derivata in tutti i punti di un deter- 

 minato intervallo, senza che questa derivata sia ivi atta alla integrazione 

 definita, si riferiscano a funzioni che fanno infinite oscillazioni ; non si può 

 con sicurezza affermare che non vi sieno anche funzioni monotone le cui 

 derivate non sono atte alla integrazione definita. 



Incomincierò perciò dal considerare il caso di funzioni monotone, che 

 è quello che presenta minori difficoltà ed ha importanza maggiore. 



1. Teorema I. — Sia f(x) una funzione delta variabile reale x , 

 ad un valore, monotona, finita e derivabile in tutti i punti di un inter- 

 vallo finito (x , . • • x), si conoscano due funzioni <p,*p atte alla integra- 

 zione definita in quel medesimo intervallo e, in ogni punto di esso, sia 

 soddisfatta V una o l'altra (o l'una e l'altra) delle due relazioni: 



o dell'altra 



<f{o:)^f\x) 



xp{x)^f\x). 



(1) 



\f\x)\^q{x). 



