Dico che, indipendentemente dalla integrabilità della f\x), si ha 

 corrispondentemente : 



(2) 



cp (a?) dx ^ \f{x) - /(#«,) | ; I/O*) — /(#<>) | ^ V(*) dx 



'&0 



Si divida infatti l' intervallo (#„,... x) in un numero arbitrario di 

 tratti (x , • • • #i) » (#i 5 ■ • • x 2 ) , • • • (#n , • • • Chiamando c? s l'ampiezza del 

 tratto (x s , ... x s +ì) , (s = 0,1,2...», x n+1 — x) , si ha : 



(3) 



(1/(^0-/^)1 = ^1/^)1 



j (s = , 1 , . . . n , x s = % s = x i+ \) . 



Dalle (1) si ricava: 



(4) às<P&)^às\f'(h)\ , cM/'&)l=^V&), 



dunque : 



£ & s g>(h)^\f(x M ) — f(x s )\ , |/(^x) — /WI^'.VG.) 

 ( (s = , 1 . . . n , ^ £ s =. àfs+i) 



e, sommando: 



/(#»+! ) — f(x s ) 



y 



f(x s+1 ) — f(x s ) 



s = , 1 , . . . n , x s = £ =t x s 



Essendo ora la f{x) monotona, le differenze f(x s +i) — f(x s ) hanno tutte 

 il medesimo segno, epperò : 



1 |/(^i) - f{x t )\ = \f(x) - f(x )\ 



ed anche: 



j f S s 9 {ìJ ^ \f{ x ) - f(x ) | , \f{x) - f{x a )\ ^ £ ó s ip(l; s ) 



(5) < 5=0 s=o 

 S = , 1 , ... 72. 3 t£ s ' f s = X$+i 



Di qui, per le ipotesi poste, si ricava appunto : 



g>(x) dx ^\ f(x) — f{x ) I , \f{x) — f(x ) è ^(ar) dx . 



2. Il teorema ora dimostrato giustifica le deduzioni fatte ai nn. 17 e 21 

 della Memoria : Sulla determinazione dell'ordine di infinito (Atti della So- 

 cietà dei naturalisti e matematici di Modena, a. 1901). 



