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3. Teorema II. — La funzione f(x) della variabile, reale x, sia 

 ad un valore, monotona, finita, derivabile in tutti i punti dell'intervallo 

 (x , . . .x). Sieno <p e ip due funzioni atte alla integrazione definita, in 

 quel medesimo intervallo. Se in ogni tratto arbitrariamente piccolo - 

 (x s , . . . , Xs+i) x ~x s <C %s+i = x , il limite inferiore dei valori della <p 

 non è maggiore di quello dei valori assoluti della f'(x); od (ed) il limite 

 superiore di questi valori assoluti non è maggiore di quello della ip in 

 quel tratto, si avrà, indipendentemente dalle integrabilità della f'(x) : 



4. Teorema III. — Sia (x , ... x) un intervallo dove la f(x) è ad 

 un valore, monotona, finita e derivabile e le y> e ip sono integrabili asso- 

 lutamente (')• Consideriamo l'insieme K dei punti che rimangono in quel- 

 l'intervallo dopo che se ne è sottratto un insieme discreto 3 ( 2 ) e suppo- 

 niamo che il limite inferiore dei valori che la (p assume nei punti di K 

 che sono situati in un tratto qualunque (x s , . . . x s+1 ) x = x s <C x s+l = x , 

 dell'intervallo dato, non sia maggiore del limite inferiore dei valori asso- 

 luti della f'(x) in quei medesimi punti, o (e) che il limite superiore di quei 

 valori assoluti della f\x), non sia maggiore del corrispondente limite 

 superiore della ip. 



Sarà soddisfatta l'una o l'altra (l'una e l'altra) delle due relazioni: 



Ad ogni numero s positivo, arbitrario, possiamo far corrispondere una 

 scomposizione dell' intervallo (x , . . . x) in un numero finito di tratti, con 

 la condizione che, la somma -j- ó 2 -\- ■ ■ ■ -\- ó p delle lunghezze dei tratti 



(Xi , . . . %! -f- <?i) , (x 2 . . . X 2 + <$z) i . • • (X p , . . . x p + <y , 



che contengono punti di 3 sia minore di e. 



Anche ciascuno dei numeri ó, ,ó 2 ,...,ó p può dunque essere supposto 

 minore di s. 



Tenendo conto delle ipotesi poste per la f e per le g> e tp , potremo, 



(») Cfr. Stolz, Wien. Berichte, 107, 108. Vedi anche E. H. Moore, Of improper de- 

 finite integrals, Trans. American. Math. Soc, voi. 2, n. 3, pagg. 296-330; voi. 2, n. 4, 

 pagg. 459-475 (1901). 



( 2 ) Cfr. la mia Nota: Contributo alla teoria degV insiemi, n. 1. 



