ad ogni numero positivo o , far corrispondere un « abbastanza piccolo perchè 

 sieno contemporaneamente minori di <r le tre somme ('): 



s=IA«i+*i)— A*i)l+IA*i+«M— A*«)I+-+IA«*tMi»)— A*A 



(6) 



S 1 = 



S 2 











l dx 



+ 



l $p(#) 



+ ••• + 







/■» a;,-*-8 2 





I l xp(x) dx 



+ 



| dx 



+ ••• + 



1 









(p{x) dx 



Xp 



ip{x) dx 



Siccome poi negli intervalli 



(#«> , • • • %ì) , ((Vi + ài , .. . z 2 ) , . . . {x p -\- dp , . . . x) 



sono soddisfatte le condizioni richieste nell'enunciato del teorema II, avremo 

 le relazioni : 



<p{x) dx^\f{x x ) — /'Oo)i , \f(x ì ) — f(x )\=\*p{x)dx 



(7) 



tpWdx^lfixJ-fixt + ÒJl , l^—fiXi + à,) 



xp(x) dx 



\ 9 (x)dx^\f{x)—f(x 9 + d p )\ , \f{x)-f{xp + dp)\^\xp{x)dx. 



Jxp+5p »_/iCp+Òp 



Tenendo conto delle (6) e del fatto che la f(x) è monotona, si ha: 



rx l r*xi /ii f>x 



(f(x) dx -f- y(^) dx -\ 1- l (p(x) dx ì= l dx — S! 



>x 



'xp+ r jp 



(8) \ xp(x) dx -\- xp{x) dx + ••• + ! ip(%) dx^z ip{x) dx + S, 



'--'aro <J&p-hòp kJx<p+Òp *-Jx a 



\f(Xi) - f(x )\ + \f{x t ) - f(x, + JOH h IA^) - A^ + 



= IA*W(*o)|-s. 



Da queste, e dalle (7), si ricava: 



fX 



I gp(a) tte - (S, - S) ^ lAar) - A^o)| , 



(9) 



'x 



!/» - f(x )\ ^ rp(x) dx + (S + S 2 ) . 



(') Cfr. p. e. E. H. Moore, loc. cit., pag. 310. La Memoria del Moore contiene anche 

 copiose notizie bibliografiche, alle quali rimando per le citazioni su questo argomento. 



Rendiconti. 1902, Voi. XI, 2° Sem. 16 



