— 122 — 



Ricordando che, indipendentemente dai valori delle espressioni l <p(x) dx , 



'x 



xp(x) dx , \f(x) — f(x)\, le quantità positive S, Si, S 2 , possono farsi 



piccole a piacere, possiamo dalle (9) dedurre le relazioni richieste: 

 \ (p(x)dx^\f(x) — f(x )\ , \f(x) — f(x )\~\ ty{x) dx 



'x„ 



Questo teorema non esclude che nei punti di un insieme discreto S, 

 le funzioni f, y> , xp , possono assumere valori nulli od infiniti. 



4. Per le funzioni non monotone i teoremi precedenti possono cessare 

 dall'essere validi. Si hanno però sempre i teoremi seguenti: 



Teorema IV. — Se f(x) è una funzione della variabile reale x , 

 ad un valore finita, continua, derivabile in un dato intervallo (x , . . . x) ; 

 se esiste una funzione ip{x) integrabile assolutamente (') nello stesso inter- 

 vallo, con la proprietà che, fatta tutto al più eccezione dai punti di un 

 insieme discreto 3, in ogni tratto (x s , . . . x s -j- d s ) , per quanto si voglia 

 piccolo di (x , • • • x), il limite superiore dei valori assoluti della f\x) , 

 non sia maggiore del limite superiore L s delle ip , si ha la relazione : 



r>x 



\f{x)~f{x,)\^ \ xfj(x)dx. 



<Jx 



La dimostrazione si fa osservando che, in ogni intervallo (x s ,..- x s -{-ó s ) 

 non contenente punti di 3 si ha 



( \f(x s + - f(x s )\ = ó s |/'(£ s )| ^ ós L s 



\ X s ^- £s ~ Xs $s ? 



e che 



1 2 f{x s + à s ) — f(x s ) \^2\f(x s + S s )- f(x s ) \^2Ó S L s . 



Teorema V. — Sia (x ,---x) un intervallo dove la funzione f(x) 

 è ad un valore finita, continua, derivabile, e le funzioni y> , ip sono asso- 

 lutamente integrabili. 



Indichiamo con K l'insieme dei punti che rimangono in quell'inter- 

 vallo, dopo che se ne è sottratto un insieme discreto 3, e supponiamo 



(>) Cfr. Stolz, Grundziige, voi. 3 (1899) pag. 122 e segg. Moore, Of improper defi- 

 nite integrali (Trans, of the. Am. Math. Soc. (1901), pag. 322. 



