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che il limite inferiore l s dei valori che la <p assume nei punti apparte- 

 nenti a K e situati in un tratto qualunque (% s ,... sc s +\), %o—%s<C®s+i=#, 

 dell'intervallo (% , ... se), non sia maggiore del limite inferiore dei valori 

 che la f ha in quegli stessi punti, o (e) eli e, il limite superio re di questi 

 valori, non sia maggiore del corrispondente limite superiore L s della xp , 

 si avrà l'una o l'altra (l'uno, e l'altra) delle relazioni seguenti: 



(10) \<p{x) doc ^ f{x) — f(z ) , f(x) — f(x ) ^ V(^) dx . 



<J X§ 



L' importanza pratica di questo teorema è molto minore di quella del 

 teorema III poiché qui, anche quando le (10) sieno entrambe soddisfatte e 



sieno finiti e diversi dallo zero i due integrali l y>(x) dx , l ip(x) dx , non 



si può affermare che sia diversa dallo zero anche la differenza f{x) — /"(«£<>) 

 se non nel caso che quei due integrali abbiano lo stesso segno. 



La seconda di quelle relazioni, non può poi da sola assicurarci che 

 non sia infinito il valore assoluto \f{x) — f(oco)\- 



Il teorema si dimostra partendo dalla relazione 



\ X$ ?s ~T- Xs ~ J~ <^s 



con considerazioni analoghe a quelle svolte al teorema III. Basta soltanto, 

 conservando le notazioni (6), sostituire l' ultima delle formule (8) con la 

 seguente : 



f{x) - fiso,) - S ^ f{ Xl ) - f(x ) + 

 + f(s>) - f[x x + + • • • + f(x) - f(x P + d p ) ^ f(x) - f(x ) + S , 



ed al posto delle (9) scrivere le seguenti: 

 <p(x) dx - (S, + S) ^ f{x) - f(x ) , f(x) - f(x ) ^ xp{x) dx + S 2 -f- S . 



kJ x 



I risultamenti a cui sono giunto in questa Nota e nella precedente 

 che ha il titolo: Contributo alla teoria degli insiemi, servono di prepara- 

 zione allo studio del problema seguente* 



Due funzioni /, g>, della variabile reale x, uniformi, finite, deriva- 

 bili nei punti di un determinato intorno di un punto x = a, sono, nel 

 punto a stesso, entrambe infinite od infinitesime. 



