— 125 — 



e inversamente: dando alle variabili x {J , y,,. valori complessi coniugati, as- 

 sume un valore reale (o puramente immaginario) secondo che è di prima 

 (o di seconda) specie. 



Le forme di Hermite di prima specie, come le forme quadratiche a 

 coefficienti reali, si dividono in riducibili ed irriducibili, in definite, semi- 

 definite, indefinite ('). Una forma di Hermite di prima specie non indefinita 

 si dirà poi parzialmente definita rispetto alle variabili x hl , Xh, , ■■■ £ht 

 (e y)n > Vhi — Vhj) quando l'annullarsi della forma per valori complessi coniu- 

 gati delle variabili porti di necessità l'annullarsi delle , x% % , ••• %ìii 

 (e delle coniugate). Perchè questo sia è necessario e sufficiente, oltre esser 

 la forma non indefinita, che sopprimendo dal discriminante a = \a^\ della 

 forma le righe (o le colonne) relative alle variabili Xh, , — x hl , la caratte- 

 ristica della matrice residua sia inferiore di altrettante unità a quella del 

 discriminante della forma stessa. 



2. Siano ora: 



(1) k{x ,y) = 2^a^x v .y-, ; B(x , y) = ^^b^x^y-, (p,v = l ,2,...n) 



due forme bilineari nelle 2n variabili Xi ... x n > U\ — Un ' e si consideri l'equa- 

 zione in w : 



(2) D(co) = \a i j.i — u)b^\ = {(i , v = 1 , 2 ... n). 



1 coefficienti di questa equazione sono gli invarianti simultanei delle 

 due forme A e B ; le sue radici m ì , w 2 ... w n sono quindi invarianti assoluti 

 delle due forme. Se w r è una qualunque radice, i due sistemi di equazioni 

 lineari omogenee nelle incognite x (r) , y (r) : 



u 



(3.) Zh(«f — «r-M< >==0 (f — l,2...ra), 



n 



(4 r ) Tv (a p — o r è p ) y< n = (,« = 1 , 2 ... n) , 



ammettono soluzioni xf } ...xlP (y\ n ■•• ylP) non tutte nulle; e se co,. , w s 



sono due radici diverse della (2), x ir) , // (s) soluzioni delle corrispondenti 

 equazioni (3 r ), (4 S ), si ha la reiasione fondamentale: 



(5) B(x' r) , y (s) ) = 2p, x<p y? = (ì» , v = 1 , 2 ... n) . 



Le A e B siano ora forme di Hermite di prima specie (od ambedue 

 di seconda, il che è lo stesso); l'equazione (2) ha allora i coefficienti reali 



(') Cfr. Kicci, Algebra, pag. 131 e segg. ; Loewy, Giornale di Creile, Bd. 120 S. 53-72. 



